Una función continua de una secuencia de vectores aleatorios converge en probabilidad a la función del límite

Question

Proposición: Si $\{ X_n \}$ es una secuencia de vectores aleatorios k-dimensionales s.t. $X_n \overset{p}{\to} X$ y si $g: R^k \rightarrow R^m$ es un mapeo continuo, entonces $g(X_n) \overset{p}{\to} g(X)$ .

Prueba: Sea $K$ sea un número real positivo. Entonces, dado cualquier $\epsilon > 0$ tenemos

No entiendo por qué $g$ es uniformemente continua y ¿podría tener algunos pasos/explicaciones adicionales para la declaración de inclusión que se deriva de esto?

Answer 1

Todo esto se reduce al hecho axiomático y evidente de que cuando $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ son eventos, entonces $\mathbb{P}(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \le \mathbb{P}(\mathcal{A}) + \mathbb{P}(\mathcal{B})$ . Todo lo demás es sólo manipulación con conjuntos (que pueden visualizarse con diagramas de Venn).

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Aplicar esto requiere decodificar la notación, lo que a su vez significa recordar que la mayor parte de ella es una abreviatura de subconjuntos de algún espacio muestral $\Omega$ . De entrada, es conveniente ver el par ordenado $\mathrm{Z}_n = (\mathrm{X}_n, \mathrm{X})$ como solo variable aleatoria con valores en el espacio métrico $M = \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^k$ .

Voy a reducir la mayor parte de esta notación a declaraciones sobre las imágenes inversas de las funciones de $\Omega$ a $\mathbb{R}$ .

En primer lugar, defina

$$g^\prime:M \to \mathbb{R},\ g^\prime((\mathrm{X}, \mathrm{Y})) = g(\mathrm{X}) - g(\mathrm{Y}).$$

La composición funcional

$$g^\prime \circ \mathrm{Z}_n:\Omega \to \mathbb{R},\ (g^\prime \circ \mathrm{Z}_n)(\omega) = g^\prime\left(Z_n\left(\omega\right)\right)$$

es una función de valor real sobre $\Omega$ .

Dejemos que

$$\mathcal{A}_n = \{|g(\mathrm{X}_n) - g(\mathrm{X})| \gt \varepsilon\} = \{\omega\in\Omega\,:\, |g(\mathrm{X}_n(\omega)) - g(\mathrm{X}(\omega))| \gt \varepsilon\}.$$

Es la imagen inversa del complemento del intervalo real $B(\varepsilon) = [-\varepsilon, \varepsilon]$ :

$$\mathcal{A}_n = (g^\prime \circ \mathrm{Z}_n)^{-1}(\mathbb{R} \setminus B(\varepsilon)).$$

Es sólo un montón de puntos en $\Omega$ . (En palabras: $\mathcal{A}_n$ consiste en todos los resultados en los que los valores de $g$ en $\mathrm{X}$ et $\mathrm{X}_n$ difieren demasiado).

(Para simplificar la notación, escribiremos los complementos del conjunto en $\mathbb{R}$ con sobrebarras, como en

$$\bar B(\varepsilon) = \mathbb{R} \setminus B(\varepsilon)$$

por ejemplo).

Del mismo modo, dejemos que

$$\mathcal{B} = \{\mathrm{X} \le K\} = \{\omega\in\Omega\,:\, \mathrm{X}(\omega) \le K\} = \mathrm{X}^{-1}(B(K))$$

(estos son los resultados en los que $\mathrm{X}$ está limitada por $K$ ) y

$$\mathcal{B}_n = \{\mathrm{X}_n \le K\} = \{\omega\in\Omega\,:\, \mathrm{X}_n(\omega) \le K\} = \mathrm{X}_n^{-1}(B(K))$$

(los resultados en los que $\mathrm{X}_n$ está limitada por $K$ ).

Por último, escribir

$$d:M\to\mathbb{R},\ d((\mathrm{X}, \mathrm{Y})) = |\mathrm{X}-\mathrm{Y}|,$$

set

$$\mathcal{C}_n = \{|\mathrm{X}_n-\mathrm{X}| \gt \gamma(\varepsilon)\} = \{\omega\in\Omega\,:\,|\mathrm{X}_n(\omega)-\mathrm{X}(\omega)| \gt \gamma(\varepsilon)\} = (d \circ \mathrm{Z}_n)^{-1}(\bar B(\gamma(\varepsilon)))$$

(los resultados en los que $\mathrm{X}_n$ difiere demasiado de $\mathrm{X}$ ).

Así, los cuatro conjuntos son imágenes inversas de funciones de valor real.

Ten en cuenta la relación entre las imágenes inversas de las funciones y los complementos. Cuando $f:A\to B$ es cualquier función entre conjuntos y $C\subset B$ entonces

$$ A \setminus f^{-1}(C) \subset f^{-1}(B\setminus C).$$

La prueba es sencilla: en el lado izquierdo están todos los elementos $x\in A$ que no se envían a $C$ por $f$ . Desde $f$ --al ser una función-- se define sobre todos los elementos de $A$ Cualquier cosa de este tipo $x$ debe enviarse al complemento de $C$ sur $B$ , QED.

Una vez eliminados estos preliminares mecánicos y teóricos del conjunto, podemos interpretar el texto. En la declaración después de "desde $g$ es uniformemente continua..." vemos

$$\{|g(\mathrm{X}_n - g(\mathrm{X})| \gt \varepsilon,\ \mathrm{X}\le K,\ \mathrm{X}_n \le K\} = \mathcal{A}_n \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{B}_n$$

y en su lado derecho está $\mathcal{C}_n$ en sí mismo. En el primer paso que sigue a "Por lo tanto" vemos conjuntos como

$$``\mathrm{X} \gt K" = \mathrm{X}^{-1} (\bar B(K)) \supset \bar{\mathcal{B}}$$

et

$$``\mathrm{X}_n \gt K" = \mathrm{X}_n^{-1} (\bar B(K)) \supset \bar{\mathcal{B}_n}.$$

Sus probabilidades se suman. Esto sugiere que consideremos la relación entre

$$\mathcal{A}_n \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{B}_n \subseteq \mathcal{C}_n$$

et

$$\mathcal{A}_n \subseteq \mathcal{C}_n \cup \bar{\mathcal{B}} \cup \bar{\mathcal{B}_n}.$$

La claridad de esta notación hace que ahora sea evidente que la primera inclusión implica la segunda, porque cualquier $\omega\in\mathcal{A}_n$ que no está en $\mathcal{B}\cap\mathcal{B}_n$ seguramente estará en

$$\Omega \setminus (\mathcal{B}\cap\mathcal{B}_n) = \bar{\mathcal{B}} \cup \bar{\mathcal{B}_n}.$$

La izquierda de la figura muestra un diagrama de Venn con $\mathcal{A}_n \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{B}_n$ en gris, mientras que la derecha de la figura muestra $\mathcal{C}_n \cup \bar{\mathcal{B}} \cup \bar{\mathcal{B}_n} = \mathcal{C}_n \cup \left(\Omega \setminus \left(\mathcal{B} \cap \mathcal{B}_n\right)\right)$ en gris. La región gris izquierda está claramente contenida en la región gris derecha.

Cuando aplicamos las probabilidades, la primera desigualdad que sigue a "Por lo tanto" se deduce inmediatamente porque la probabilidad de una unión no puede superar la suma de las probabilidades, como se ha señalado al principio.

La siguiente desigualdad se deriva de la misma manera: Dejo el dibujo de su diagrama de Venn al lector interesado.

Answer 2

Propuesta. Si $\{X_n\}_{n\geq 1}$ es una secuencia de $k$ -vectores aleatorios de dimensiones tales que $X_n\overset{\Pr}\to X$ y $g:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^m$ es continua, entonces $g(X_n)\overset{\Pr}\to g(X)$ .

Prueba . Para cada $K>0$ , si $\|X_n(\omega)\|>K$ entonces $$\|X_n(\omega)-X(\omega)\|+\|X(\omega)\|\geq\|X_n(\omega)-X(\omega)+X(\omega)\|=\|X_n(\omega)\|>K,$$ lo que significa que, o bien $\|X_n(\omega)-X(\omega)\|>K/2$ o $\|X(\omega)\|>K/2$ . Por lo tanto, $$ \left\{\omega:\|X_n(\omega)\|>K \right\} \subset \left\{ \omega : \|X_n(\omega)-X(\omega)\|>K/2 \right\} \cup \left\{ \omega : \|X(\omega)\|>K/2 \right\}, $$ por cada $n\geq 1$ . Desde $g$ es una función continua, es uniformemente continua en el conjunto compacto $\{v\in\mathbb{R}^k:\|v\|\leq K\}$ . Por lo tanto, para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que, para $\|X_n(\omega)\|\leq K$ et $\|X(\omega)\|\leq K$ , si $\|X_n(\omega)-X(\omega)\|<\delta$ entonces $\|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|<\epsilon$ . De ello se desprende, por contraposición, que $$\begin{align} &\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq\epsilon, \|X_n(\omega)\|\leq K, \|X(\omega)\|\leq K \right\} \\ &\qquad\subset\left\{\omega: \|X_n(\omega)-X(\omega)\|\geq\delta, \|X_n(\omega)\|\leq K, \|X(\omega)\|\leq K \right\} \\ &\qquad\subset\left\{\omega: \|X_n(\omega)-X(\omega)\|\geq\delta\right\}. \end{align}$$ Además, la definición de $A_n=\{\omega:\|X_n(\omega)\|\leq K\}\cap\{\omega:\|X(\omega)\|\leq K\}$ y utilizando las inclusiones anteriores, tenemos $$ \begin{align} \Pr\!\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq \epsilon\right\} &= \Pr\!\left(\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq \epsilon\right\}\cap A_n\right) \\ &+ \Pr\!\left(\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq \epsilon\right\}\cap A_n^c\right) \\ &\leq \Pr\!\left\{\omega: \|X_n(\omega)-X(\omega)\|\geq\delta \right\} + \Pr(A_n^c) \\ &\leq \Pr\!\left\{\omega: \|X_n(\omega)-X(\omega)\|\geq\delta \right\} \\ &+ \Pr\!\left\{\omega:\|X_n(\omega)\|>K \right\} + \Pr\!\left\{\omega:\|X(\omega)\|>K \right\} \\ &\leq \Pr\!\left\{\omega: \|X_n(\omega)-X(\omega)\|\geq\delta \right\} \\ &+ 2\Pr\!\left\{\omega:\|X(\omega)\|>K/2 \right\} \\ &+ \Pr\!\left\{\omega:\|X_n(\omega)-X(\omega)\|>K/2 \right\}, \end{align} $$ por cada $n\geq 1$ . Ya que, por hipótesis, $X_n\overset{\Pr}\to X$ se deduce que $$ \lim_{n\to\infty} \Pr\!\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq \epsilon\right\} \leq 2\Pr\!\left\{\omega:\|X(\omega)\|>K/2 \right\}, \quad (*) $$ por cada $\epsilon>0$ , y cada $K>0$ (¡este es un punto lógico sutil y crucial!) . Porque el aumento de $K$ podemos hacer $2\Pr\!\left\{\omega:\|X(\omega)\|>K/2 \right\}$ arbitrariamente pequeño, la desigualdad $(*)$ es válida para cada $K>0$ si y sólo si $$ \lim_{n\to\infty} \Pr\!\left\{\omega: \|g(X_n(\omega))-g(X(\omega))\|\geq \epsilon\right\}=0, $$ por cada $\epsilon>0$ , dando como resultado que $g(X_n)\overset{\Pr}\to g(X)$ . $\quad\square$

Nota. Es mucho más fácil demostrar esta proposición utilizando el hecho de que $X_n\overset{\Pr}\to X$ si y sólo si para cualquier subsecuencia $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$ hay una subsecuencia $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ tal que $X_{n_{i_j}}\to X$ casi seguramente cuando $j\to\infty$ .