Valores propios de ciertas bloque de hermitian matriz

Question

Supongamos que tengo un bloque especial, Hermitian matriz $H = \begin{bmatrix} A & B \\ B^* & A^* \end{bmatrix}$, donde * denota la transpuesta conjugada. Los bloques de $A$ $B$ son ellos mismos Hermitian en este caso. Hay teoremas teniendo en cuenta los valores y vectores propios para este tipo especial de matriz?

Answer 1

Ya en el comentario, que asumió $A$ $B$ hermitian, podemos calcular el polinomio característico $\det(H-X_{2n})$. Añadir a la columna de $k$ la columna de $n+k$ $1\leq k\leq n$ a ver que $$\det(H-XI_{2n})=\det(A+B-XI_n)\det\pmatrix{I_n&B\\ I_n&A-XI_n}.$$ A continuación, hacer $R_{n+k}\leftarrow R_{n+k}-R_k$, $1\leq k\leq n$, lo que da $$\det(H-XI_{2n})=\det(A+B-XI_n)\det(A-B-XI_n).$$ Por lo que el espectro de $H$ es la unión de los espectros de $A+B$$A-B$.