Supongamos que $x>30$ es un número que satisface $\lfloor x\rfloor \cdot \lfloor x^2\rfloor = \lfloor x^3\rfloor$. Demuestra que $\{x\}<\frac{1}{2700}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.
Mi heurística es que $x$ necesita ser "pequeño": es decir, tan cerca de $30$ como sea posible para acercarse al límite superior en $\{x\}$, pero no estoy seguro de cómo hacer esto una prueba.
Si $\lfloor x \rfloor = y$ y $\{x\} = b$, entonces $\lfloor x\rfloor \cdot \lfloor x^2\rfloor = \lfloor x^3\rfloor = y\lfloor y^2+2by+b^2 \rfloor = \lfloor y^3+3y^2b+3yb^2+b^3\rfloor$
Una forma en que esto puede suceder es que $b$ sea lo suficientemente pequeño para que todos los términos que incluyen $b$ sean menores que 1, lo que hace que ambos lados sean $y^3$. Esto requiere que $3y^2b \lt 1$, lo que da $b \lt \frac 1{2700}$ como se requiere. Ahora debes argumentar que si $2by+b^2 \ge 1$ el lado derecho será demasiado grande.
¿Podrías desarrollar un poco más la última parte? Estoy obteniendo $RHS\geq\lfloor(y+b)(y^2+1)\rfloor$ pero no sé cómo proceder.
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Establecer $a=\{x\}$, $b=\lfloor x \rfloor$. Entonces $x=a+b$, $x^2=a^2+2ab+b^2$, $x^3=\cdots$. Insertar y simplificar ambos lados.
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Por cierto, lo que has llamado tu "heurística" es realmente tu "intuición" o "conjetura". Una heurística es una forma de hacer algo aproximadamente, como "predecir al ganador de una elección a través de encuestas a la salida con una muestra pequeña es una buena heurística en todas las carreras excepto en las más cercanas".
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Vadim123 Ya llegué a esa parte, pero no estoy seguro de cómo proceder.
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$x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ encuentra $x^2$ y $x^3$ en este formato. Luego, ¿en qué límites debe estar $\{x\}$ para que la ecuación se equilibre?