¿Cuál es el espacio $\text{SL}(n, \mathbb{C})/\text{SL}(n,\mathbb{R})$ ?

Question

¿Se conoce una descripción de ese espacio que no sea como ese cociente? Me interesa el caso $n = 2$ en particular.

Answer 1

Puede identificar $SL(n,\mathbb C)/SL(n,\mathbb R)$ con el conjunto de estructuras reales sobre el espacio vectorial complejo $\mathbb C^n$ . Aquí una estructura real en un espacio vectorial complejo $V$ se define como un mapa $\sigma:V\to V$ tal que $\sigma^2=id_V$ y tal que $\sigma(\lambda v)=\overline{\lambda}\sigma(v)$ para todos $v\in V$ y $\lambda\in\mathbb C$ . La estructura real estándar en $\mathbb C^n$ viene dada por la conjugación compleja de las coordenadas de un vector.

Ahora se define una acción de $SL(n,\mathbb C)$ en el conjunto de estructuras reales en $\mathbb C^n$ dejando $A\in SL(n,\mathbb C)$ actuar $\sigma$ a través de $A\cdot\sigma:=A\circ\sigma\circ A^{-1}$ . Se demuestra directamente que esta acción es transitiva (es decir, que cualquier estructura real viene dada por la conjugación de las coordenadas con respecto a alguna base compleja de $\mathbb C^n$ ). Además, $A$ satbiliza la estructura estándar si y sólo si $A\bar v=\overline{Av}$ para todos $v\in\mathbb C^n$ y mirando los elementos de la base estándar, se concluye que esto es equivalente a todas las entradas de $A$ siendo real. Por lo tanto, el estabilizador de la estructura real estándar es $SL(n,\mathbb R)\subset SL(n,\mathbb C)$ que completa el argumento.

Alternativamente, se pueden identificar estructuras reales con subespacios totalmente reales en $\mathbb C^n$ de dimensión real $n$ es decir, subespacios $W$ tal que $W\cap i\cdot W=\{0\}$ . Estas pueden identificarse con estructuras reales a través del conjunto de puntos fijos.

Answer 2

Para $n=2$ su espacio es (anormalmente) homeomorfo a ${\mathbb R}\times S^2$ . Más naturalmente, es el espacio tridimensional anti-de Sitter $adS_3$ , también conocido como el hiperboloide de 1 hoja en ${\mathbb R}^{1,3}$ . Para ver esto, considere la acción natural de $SL(2, {\mathbb C})$ en $adS_3$ y observe que los estabilizadores puntuales son conjugados de $SL(2, {\mathbb R})$ .