Derivado de la $x^{x^x}$

Question

Necesito calcular la derivada de $$z=x^{x^x}$$

He hecho como este:

$$y=x^x$$ so $$z=y^x$$ a continuación, $$\ln(z)=x\ln(y)$ $ tomando la derivada de ambos lados: $$\frac{z'}{z}=\ln(y)+x\left(\frac{1}{y}\right)y'$$ Sé que $$(x^x)'=x^x(1+\ln(x))$$ Así : $$z'=z*(\ln(x^x)+x*\left(\frac{1}{x^x}\right)*(x^x)'))=x^{x^x}(x\ln(x)+x\ln(x)+x)=x^{x^x}\left(2x\ln(x)+x\right)$$ sé que hice algo mal. Donde está mi Error??

Gracias mucho!

Answer 1

Lo que si representa su función como

$f(x) = x^{x^x} = \exp(x^x \cdot \ln x) = \exp(\,\exp(x\ln(x)) \cdot \ln x \, )$

Entonces se puede aplicar la regla de la cadena con el producto de la regla.

Answer 2

Es $z=x^y$ $z = y^x$ $z= y\ln x$ $z = x\ln y$

Answer 3

Aquí está la fantasía de forma que lo haría con multi-variable regla de la cadena:

Vamos

$u=x\\v=x\\w=x\\y=u^v\\z=w^y$

Entonces tenemos

$$\begin{align}\frac d{dx}z&=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dx}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}\\&=yw^{y-1}+\ln(w)w^y\left(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial y}{\partial v}\frac{dv}{dx}\right)\\&=x^x+\ln(x)x^x\left(vu^{v-1}+\ln(u)u^v\right)\\&=x^x+x^{2x}\ln(x)(1+\ln(x))\end{align}$$

Answer 4

Creo que tu confusión se deriva de lo que usted piensa $x^{x^x}$ medios.

$x^{x^x}$ significa tomar $x$ a la potencia de $x^x$ que es distintivamente diferente de tomar $x^x$ a la potencia de $x$.

Como un ejemplo, $3^{3^3} = 3^{(3^3)} = 3^{27}$.

$3^{3^3} \neq (3^3)^3=27^3$.

Por lo $z \neq y^x$. En su lugar, $z = x^y$.

Answer 5

Su único error es que $x^{x^x}=x^{(x^x)}\ne (x^x)^x=x^{x^2}$.

En cuanto a los derivados, es simplemente la regla de la cadena y la regla del producto. Primero vamos a hacer

$$\frac{dx^x}{dx} = \frac{de^{x\ln x}}{dx} = x^x \left(x \frac{d\ln x}{dx} + \ln x\right) = x^x(1 + \ln x).$$

Entonces que podemos hacer el resto:

$$\frac{d x^{x^x}}{dx} = \frac{de^{x^x\ln x}}{dx} = x^{x^x}\left(x^x \frac{d\ln x}{dx} + \ln x \frac{d x^x}{dx}\right) = x^{x^x} \left[x^{x-1} + x^x(\ln x+\ln^2 x)\right].$$