Cómo probar $4(n!)>2^{n+2}$ $n\geq 4$ con inducción

Question

He hecho el paso base, pero ¿cómo lo pruebo es verdad $n+1$ sin usar una falacia? $$4(n!)>2^{n+2}\quad \text{for } n\geq 4, Por favor ayuda.

Answer 1

Como AWertheim señalado acertadamente, la reclamación se le pide que demuestre:

$$4(n!)>2^{n+2}\quad \text{for } n\geq 4$$

es equivalente a probar:

$$n! > 2^{n}\quad \text{for } n\geq 4\tag{1}$$

$$\text{since}\quad 4(n!) > 2^{n+2} \iff 2^2\cdot n! > 2^2 \cdot 2^n \iff n! > 2^n\quad \text{for } n\geq 4$$

---

$(1): P(n) \quad n! > 2^n\quad \text{for } n\geq 4$

$P(4)$ Voy a asumir que usted ha demostrado que esto es cierto para el caso base: $4! = 24 > 16 = 2^4 \quad \large \checkmark$

Asumir la perspectiva de la hipótesis es verdadera. $P(k):\quad$ Existe una $k \in \mathbb N, \;\; k\geq 4$ tal que $\;k! > 2^k$.

Tenemos que mostrar que $P(k+1)$ es cierto: $\quad(k+1)! > 2^{k+1}$.

$$(k+1)! \;\; = \;\; \underbrace{(k+1)\,k! \;\;>\;\; \color{blue}{\bf (k+1)}2^{k}}_{P(k)}\;\; > \;\;\color{blue}{\bf 2}\cdot2^{k} \;\;= \;\;2^{k+1}$$ como se desee. Tenga en cuenta que nosotros hacemos uso del hecho de que $\color{blue}{\bf k+1 > 2}\;$ todos los $\,k\geq 4$.

Answer 2

Sugerencia: Esto es igual a prueba $n! > 2^{n}$ por inducción. Para ver cómo hacer esto, intentar escribir cada lado $n \geq 4$...

Por ejemplo $n = 5$, tenemos:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 > 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Una término por término comparación debe darle la intuición para una prueba formal.

Answer 3

Sugerencia: Si $n\geq 4$, entonces el $(n+1)>2$, y para cualquier número positivo $a,b,c,d$ $$a>b,\quad c>d\implies ac>bd.