Creo que de un conjunto estructurado como un conjunto $X$ junto con alguna otra información que me decía cómo $X$ es "estructurado". Por ejemplo, un grupo es un conjunto $G$ junto con su "estructura", que es una operación binaria $+\colon G\times G \to G$, un unario operación $-\colon G \to G$ y un nullary operación $e\colon 1\to G$ que satisfacer el grupo de axiomas. A continuación, una estructura de grupo-la preservación de mapa de $h\colon \langle G;+,-,e\rangle \to \langle G';+',-',e'\rangle$ es un conjunto de mapa de $h\colon G\to G'$ que conserva la estructura, es decir,, $e'=he$, $+'\circ(h\times h)=h\circ+$, y $-'\circ h=h\circ -$. Para estudiar cómo esta estructura se comporta en su conjunto subyacente, nos fijamos en el olvido functor. En el caso de los grupos de, $U\colon \langle G;+,-,e\rangle \mapsto G$, $h\mapsto h$.
Así, en el caso de espacios topológicos, tenemos diferentes maneras de describir la estructura en su conjunto subyacente, sea por la apertura de los conjuntos, conjuntos cerrados, la Kurotowski cierre de operador, o barrio de la descripción (véase Peter Clark notas). Estos formalmente nos dan diferentes categorías, los objetos que se establece equipado con una de estas descripciones como su estructura y las flechas de los mapas del juego, que respetan la estructura (más sobre esto más adelante). Todas ellas están equipadas con un olvidadizo functor, y por otra parte están concretamente isomorfos, es decir, la hay isomorfo functors que el respeto a los desmemoriados functors.
Por ejemplo, si $\mathbf{Top}_{open}$ es de la categoría de los espacios topológicos definido por la apertura de los conjuntos y $\mathbf{Top}_{closed}$ es de la categoría de los espacios topológicos definidos por conjuntos cerrados, es evidente que existe una isomorfismo $F\colon \mathbf{Top}_{open} \to \mathbf{Top}_{closed}$, $\langle X; \tau\rangle\mapsto \langle X; \overline{\tau}\rangle$ en el conjunto de abrir conjuntos de $\tau$ mapa a su conjunto de complementos en $\overline{\tau}$. A continuación, el olvidadizo functors $U\colon \mathbf{Top}_{open}\to \mathbf{Set}$ $U'\colon \mathbf{Top}_{closed}\to \mathbf{Set}$ están relacionados por esta iso, es decir, $U=U'F$. Decimos que son concretamente isomorfo significado de la estructura es esencialmente la misma.
En cuanto a su pregunta acerca de por qué los mapas topológicos se dice que la estructura de la preservación, es porque los mapas respetar la estructura de los espacios topológicos. Si tomamos el conjunto abierto de la definición de espacios topológicos, a continuación, $f\colon \langle X; \tau\rangle \to \langle X';\tau' \rangle$ es un conjunto de mapa de $f\colon X\to X'$ tal que existe una conservación de abrir el conjunto de la estructura, es decir, $f^{-1}\colon \tau'\to \tau$ es un almacén de poset mapa.
Resulta que hay topológico-como construcciones y algebraicas-como construcciones, dependiendo de lo que las fibras de la olvidadizo functor se ve como en los objetos.
Por ejemplo, echemos un vistazo a la fibra de $U\colon \mathbf{Top}\to \mathbf{Set}$ a través de un conjunto $X$. Podemos definir un poset de la estructura de la fibra mediante el establecimiento $\langle X;\tau\rangle \leq \langle X;\tau'\rangle$ iff la identidad subyacentes mapa es un mapa continuo $id_X\colon \langle X;\tau\rangle \to \langle X;\tau'\rangle$. Aquí es donde su final y cofinal topologías de venir. Tenemos cada fibra equipado con un almacén de poset estructura con la parte inferior está el cofinal topología en ese conjunto y la parte superior de la final de la topología. Esto es debido a que la identidad de un conjunto con el cofinal topology (topología discreta) es continua y la identidad a un conjunto con el final topology (topología indiscreta) es continua.
En general, topológico-como las estructuras han nondiscrete posets como fibras y algebraicas-como la estructura que tienen discretos posets como fibras donde dos estructuras de $\langle X;S\rangle \leq \langle X;S'\rangle$ si el subyacente mapa de identidad es una estructura de preservar mapa de $id_X\colon \langle X;S\rangle \to \langle X;S'\rangle$. Ver La Alegría de los Gatos para una discusión más detallada http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
