La primera cosa que tienes que entender es que las notas no están definidas de forma exclusiva. Todo depende de cuál es la sintonía de utilizar. Voy a suponer que estamos hablando de temperamento igual aquí. En temperamento igual, un medio paso es el mismo como una relación de frecuencia de $\sqrt[12]{2}$; de esa manera, a las doce de la mitad-pasos de una octava. Por qué doce?
Al final del día, ¿qué esperamos de nuestros frecuencias musicales son agradables proporciones de los pequeños lintegers. Por ejemplo, un perfecto quinto se supone que corresponden a una relación de frecuencia de : 2$, or .5 : 1$, but in equal temperament it doesn't; instead, it corresponds to a ratio of ^{ \frac{7}{12} } : 1 \approx 1.498 : 1$. Como se puede ver, este no es un quinto; sin embargo, está muy cerca.
Del mismo modo, un perfecto cuarta se supone que corresponden a una relación de frecuencia de : 3$, or .333... : 1$, but in equal temperament it corresponds to a ratio of ^{ \frac{5}{12} } : 1 \approx 1.335 : 1$. De nuevo, esto no es un perfecto cuarto, pero está bastante cerca.
Y así sucesivamente. Lo que está pasando aquí es sumamente conveniente matemática coincidencia: varios de los poderes de la $\sqrt[12]{2}$ pasan a ser buenas aproximaciones a los cocientes de enteros pequeños, y hay bastantes de estos para reproducir la música Occidental.
Aquí es cómo esta coincidencia obras. Consigue las teclas blancas de $C$ using (part of) the circle of fifths. Start with $C$ and go up a fifth to get $G$, then $D$, then $A$, then $E$, then $B$. Then go down a fifth to get $F$. These are the "neighbors" of $C$ in the circle of fifths. You get the black keys from here using the rest of the circle of fifths. After you've gone up a "perfect" perfect fifth twelve times, you get a frequency ratio of ^{12} : 2^{12} \approx 129.7 : 1$. This happens to be rather close to ^7 : 1$, or seven octaves! And if we replace : 2$ by ^{ \frac{7}{12} } : 1$, then we get exactly seven octaves. In other words, the reason you can afford to identify these intervals is because ^{12}$ happens to be rather close to ^{19}$. Dicho de otra manera,
$$\log_2 3 \approx \frac{19}{12}$$
pasa a ser una buena aproximación racional, y esta es la base principal de temperamento igual. (La otra gran coincidencia aquí es que $\log_2 \frac{5}{4} \approx \frac{4}{12}$; esto es lo que nos permite exprimir las principales tercios en temperamento igual).
Es un hecho fundamental de la música que $\log_2 3$ is irrational, so it is impossible for any kind of equal temperament to have "perfect" perfect fifths regardless of how many notes you use. However, you can write down good rational approximations by looking at the continued fraction of $\log_2 3$ y la escritura de la convergents, y estos corresponden a los de igual temperamento escalas con más notas.
Por supuesto, usted puede utilizar otros tipos de temperamento, como bien temperamento; si nos atenemos a $ notas (que no todo el mundo lo hace!), usted se verá obligado a hacer algunos intervalos de mejor sonido y algunos intervalos de sonido peor. En particular, si no el uso de temperamento igual, a continuación, las diferentes teclas de sonido diferentes. Esta es una importante razón por la que muchos Occidentales compositores compuesto en diferentes claves; durante su tiempo, este hecho una diferencia. Como resultado, cuando usted está jugando cierto lo suficientemente viejo piezas que no son en realidad jugando a ellos, ya que estaban destinados a ser oído - eres la utilización incorrecta de la optimización.
Edit: supongo que también es bueno decir algo acerca de por qué nos preocupamos por razones de frecuencia que son cocientes de enteros pequeños. Esto tiene que ver con la física del sonido, y no estoy particularmente bien informado aquí, pero esta es mi comprensión de la situación.
Usted probablemente sabe que el sonido es una onda. Más precisamente, el sonido es una onda longitudinal llevado por las moléculas del aire. Se podría pensar que es una simple ecuación para el sonido creado por una sola nota, quizás $\sin 2\pi f t$ if the corresponding tone has frequency $f$. En realidad, esto sólo ocurre para los tonos de los cuales son producidos por medios electrónicos; en cualquier tono que producen en la naturaleza lleva consigo connotaciones y tiene una serie de Fourier
$$\sum \left( a_n \sin 2 \pi n f t + b_n \cos 2 \pi n f t \right)$$
donde los coeficientes $a_n, b_n$ determine the timbre of the sound; this is why different instruments sound different even when they play the same notes, and has to do with the physics of vibration, which I don't understand too well. So any tone which you hear at frequency $f$ almost certainly also has components at frequency f, 3f, 4f, ...$.
Si juegas dos notas de frecuencias $f, f'$ together, then the resulting sound corresponds to what you get when you add their Fourier series. Now it's not hard to see that if $\frac{f}{f'}$ es un cociente de enteros pequeños, muchos (pero no todos) de los armónicos que coinciden en la frecuencia con cada uno de los otros; el resultado de los sonidos más complejo, se nota con ciertos matices. En caso contrario, aparece la disonancia como distinguir los dos tipos de armónicos simultáneamente y sus frecuencias será similar, pero no lo suficientemente similares.
Edit: probablemente, Usted debe comprobar fuera de David Benson, "la Música: Un Matemático que Ofrece", el libro Rahul Narain recomendado en los comentarios para la historia completa. No había mucho que yo no sabía, y estoy solo en la introducción!
