¿Cómo calcular la distancia media hasta cruce dentro de un triángulo en R ^ 2?

Question

Un montón de preguntas sencillas porque soy un noob.

Se le da los 3 puntos en R^2; a, B, C, formando un triángulo con área > 0. Se elige un punto arbitrario en el interior de ABC y una dirección arbitraria. Después de una cierta distancia d que se cruzan algunos de los lados de un triángulo. La tarea es calcular la espera d de un triángulo dado. También, sería bueno saber toda la distribución. ¿Qué tipo de distribución (por ejemplo, uniforme, normal) sería?

La próxima, ¿y si tengo un complejo polígono? Puedo combinar mis conocimientos de triángulos individuales de alguna manera para calcular la media y distr. para el polígono convexo?

Por último, ¿un no-polígono convexo?

Answer 1

Para un triángulo, esto parece relativamente fácil. construir el diagrama de voronoi de los lados, que en este caso es simplemente la partición formada por las bisectrices en cada vértice. ellos se cruzan en el centro del círculo inscrito, formando tres triángulos. En cada triángulo, la distancia del' al límite' es realmente la distancia hacia el lado correspondiente del triángulo original, y la respuesta es una integración recta.

Answer 2

x está en el triángulo. Dibujar segmentos que conectan x a cada vértice y segmentos perpendiculares a cada lado de la x. Luego, a partir del segmento perpendicular más cercano, medida del ángulo formado por el vector y lo llaman $\theta$. Nota la longitud de la perpendicular, llamarla R. Entonces la distancia de x a un lado en la dirección del vector, es: $R \sec (\theta)$.

Answer 3

Si usted llama a la variable aleatoria que describe X, entonces es mucho más fácil calcular el valor esperado de X². De hecho, para cualquier punto P en el interior del triángulo ABC, el valor esperado de X² donde X es la longitud de un rayo a través de P cruzaba con el interior de ABC es sólo el área de ABC dividido por pi—imagínese tratando de calcular el área de ABC usando coordenadas polares con origen en la P.

Puede utilizar una táctica similar para escribir el valor esperado de X en términos del valor promedio de 1/d(P, Q) donde P y Q son seleccionados de manera uniforme al azar desde el interior del triángulo ABC, pero esto no parece terriblemente útil.

Answer 4

Podemos empezar por resolver el problema de un triángulo arbitrario y fijo dirección, a decir de la dirección hacia arriba, como siempre podemos rotar la figura entera en esa posición.

En el caso genérico, sin borde del triángulo es horizontal. Así, el triángulo tiene un "top" vértice en (0, 0) -- este es el vértice con la mayor coordenada. Sin pérdida de generalidad, cambiar la escala, de modo que el borde opuesto del vértice en (0, 0) pasa por (-1, 0). Vamos a decir que la "altura" de este triángulo es 1, donde por la altura nos referimos a la longitud de la vertical cayó desde el vértice superior.

Entonces el conjunto de puntos de distancia vertical al menos r de la parte superior del triángulo original forma de un triángulo de altura 1-r, similar al triángulo original. Así

$$ Prob(\hbox{vertical distance from top } > r) = (1-r)^2 $$

y esto le da a la distribución. En particular, el valor esperado de la distancia vertical de un punto al azar a la parte superior del triángulo (después de que el reescalado dada anteriormente) es de 1/3.

Si desea elegir una al azar la dirección, sin embargo, luego de esto se pone mucho más difícil porque el reescalado paso va a actuar de manera diferente para diferentes direcciones.