Estoy revisando material de Calc $2$ y me encontré con un problema que me ha pedido que explique por qué $x^\pi$ no tiene una extensión de la serie de Taylor alrededor de $x=0$. A mí me parece que tendría una expansión pero sólo sería $0$, así que tal vez no es una expansión adecuada. No tiene ningún agujero y es infinitamente diferenciable por lo que no sé por qué no podía tener una expansión.
Respuestas
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tooshel
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Me decidí a elaborar en mi comentario anterior.
¿Qué es $x^\pi$ si $x$ es negativo? Tratando de aproximarse con $x^r$ racional, $r$ es problemática, según la cual los números racionales utiliza para aproximar; en el caso de que la respuesta sea positiva, negativa, imaginario? Quizás lo más razonable sería tomar $x^\pi=e^{\pi \log(x)}$ para algunos convenientemente elegido rama del logaritmo en $(-\infty,0)$, la opción más común el ser $\log x=\ln(-x)+\pi i$. Su función, a continuación, se convierte en $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} e^{\pi \ln x} & : x>0 \\ 0 & : x=0 \\ e^{i\pi^2}e^{\pi \ln(-x)} & :x<0 \end{array} \right. $$
En particular, no es un valor real. Usted todavía puede seguir adelante y tratar de tomar sus derivados, pero este trozos representación puede hacer que sea menos sorprendente que no va a ser una singularidad en cero.
Andrew
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Como una gráfica de un suplemento a los Jonas y WWright respuestas:
Este es un dibujo de las partes real e imaginaria de $(x+iy)^\pi$ en el plano complejo. Nota el corte en ejecución en todo el eje real negativo. Este corte es precisamente la razón por la cual usted no puede tener un Maclaurin de expansión; polinomios no exhibición de recortes, y una de Maclaurin de expansión cantidades de aproximar su función con una secuencia de polinomios.
