Resolver $2a^b-b=1997$ en $\mathbb{N}$

Question

El problema. Encuentra todos los pares de enteros positivos $a$ y $b$ tal que la siguiente igualdad se mantiene: $$2a^b-b=1997.$$

Mi intento. Vemos que $b$ tiene que ser impar, y que $L=(1997+b)/2$ tiene que ser una potencia perfecta. Como $L\ge1998/2=999$ y como $L=2048$ da $a=2$ y $b=11$ que es no solución, podemos suponer que $L\equiv1\pmod2$ (todo lo que está más allá de $2^{13}$ es demasiado grande de todos modos). Así que $L$ es impar lo que significa que $1997+b$ no es divisible por $4$ o: $$1997+b\not\equiv0\pmod4\iff b\not\equiv-1997\pmod4\iff b\not\equiv3\pmod4.$$ Esto nos da unos cuantos aciertos sobre $a^b$ pero seamos sinceros, eso es bastante inútil. No tengo ni idea. He intentado clavar la solución pero no ha funcionado, salvo la obvia de $b=1$ que nos da $a=999$ .

Answer 1

Está claro que no hay soluciones con $a=1$ por lo que podemos suponer que $a\ge2$ . Si $b\ge10$ entonces $2a^b\ge2\cdot2^{10}=2048$ que es demasiado grande (restando $b$ no ayudará, porque $f(x)=2^x-x$ es creciente cuando $x\in[2,\infty)$ ). Así que $b=1,2,3,4,5,6,7,8$ o $9$ .

Hojas de revisión rápida $b=1, a=999$ y $b=3, a=10$ como las únicas posibilidades.