La paradoja de la escalera, o por qué $\pi\ne4$

Question

¿Qué hay de malo en esta prueba?

Es $\pi=4?$

Answer 1

Esta cuestión se suele plantear como la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario. Se empieza a ir de una esquina a la opuesta siguiendo el perímetro y se observa que la longitud es $2$ , luego toma escalones cada vez más cortos y la longitud es $2$ pero su camino se acerca a la diagonal. Así que $\sqrt{2}=2$ .

En ambos casos, te acercas a la zona pero no a la longitud del camino. Puedes hacer esto más riguroso dividiendo en incrementos y siguiendo la prueba de la suma de Riemann. La diferencia de área entre las dos curvas va bien a cero, pero la diferencia de longitud de arco se mantiene constante.

Edición: hacer el cuadrado más explícito. Imagina que divides la diagonal en $n$ segmentos y una aproximación escalonada. Cada triángulo es $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{\sqrt{2}}{n})$ . Así que el área entre los escalones y la diagonal es $n \frac{1}{2n^2}$ que converge a $0$ . La longitud de la ruta es $n \frac{2}{n}$ que converge aún mejor a $2$ .

Answer 2

Este problema ilustra el hecho de que dos funciones pueden estar muy cerca: $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para todos $x\in [0,1]$ pero sus derivados pueden seguir estando muy alejados, $|f'(x)-g'(x)|>c$ para alguna constante $c>0$ . En nuestro caso, dejemos que $x=a(t),y=b(t),0\le t\le 1$ y $x=c(t),y=d(t), 0\le t\le 1$ sean las parametrizaciones de las dos curvas. Al suavizar las esquinas, podemos suponer que ambas son suaves. $$ \|(a(t),b(t))\|\approx \|(c(t),d(t))\|$$ no implica $$ \|(a'(t),b'(t))\|\approx \|(c'(t),d'(t))\|$$ Por lo tanto, $\int_0^1 \|(a'(t),b'(t))\| dt$ no necesita estar cerca de $\int_0^1 \|(c'(t),d'(t))\| dt.$ Aquí $\|(x,y)\|$ denota $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Answer 3

R.I.P. Arquímedes

¡Una respuesta fotogénica a tal pregunta!

Answer 4

La expresión concisa de esta "paradoja" es la siguiente: dejemos que $x_n(t)$ sea una secuencia de curvas paramétricas que convergen uniformemente a una curva límite $x(t)$ . Entonces no es necesario que las arclitudes de $x_n(t)$ se acercan a la arclitud de $x(t)$ .

[ Añadido después de ver la respuesta de TCL : también es cierto que la convergencia uniforme de una secuencia de funciones no implica la convergencia de sus derivadas. Véase la sección 3 aquí para ver un poco sobre esto. Como señala TCL, dado que los elementos de arclength se calculan utilizando derivadas, la observación sobre las derivadas puede ser en cierto sentido más fundamental. En otras palabras, creo que me gusta más la respuesta de TCL que la mía].

Como señala Ross Millikan, esto se muestra más familiarmente al aproximar la hipotenusa de un triángulo rectángulo por un patrón de escalera de segmentos de línea horizontales y verticales. Todavía recuerdo cuando estaba en el último año de instituto y un amigo (con el que no había tenido ninguna interacción matemática previa) me enseñó esto. Recuerdo que pensé que no era paradójico, pero sí sorprendente. (Y desde entonces he respetado matemáticamente a esta persona, aunque no la haya visto desde la adolescencia).

Añadido mucho más tarde Si se piensa en el fenómeno físicamente y no geométricamente, me parece que la sorpresa desaparece. Por ejemplo, supongamos que yo estoy corriendo y tú vas en moto. Es posible que tu velocidad en cada instante sea 25 veces (digamos) más rápida que la mía mientras mantienes una distancia muy pequeña conmigo, por ejemplo, dando vueltas muy pequeñas y muy rápidas a mi alrededor.

Answer 5

Muy divertido. Por supuesto, la circunferencia es no aproximado por la suma de las longitudes de las líneas construidas como se muestra, sino por la suma de las hipotenusas de cada uno de los triángulos rectángulos formados alrededor del borde del círculo (formando un polígono con vértices en el círculo).