No es difícil mostrar que $$\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)\geq\liminf_{n\to\infty}(a_n)+\liminf_{n\to\infty}(b_n)$$ para cualquier $\{a_n\},\{b_n\}\subset{\Bbb R}$ de manera tal que el lado derecho está definido (es decir, no $\infty-\infty$ o $-\infty+\infty$). También, si $\lim a_n$ $\lim b_n$ existen, entonces tenemos $$ \liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\liminf_{n\to\infty}(a_n)+\liminf_{n\to\infty}(b_n). $$
El artículo de la wikipedia sobre el límite inferior y límite superior da condiciones suficientes para "$=$" para sostener que no veo la manera de que lo demuestran:
si uno de $\lim a_n$ $\lim b_n$ existe, entonces tenemos "$=$".
Aquí están mis preguntas:
- ¿Cómo puedo mostrar la declaración anterior?
- Es esta condición también es necesario?
Por ejemplo supongamos $\lim a_n=a$. Para mostrar $$ \liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+\liminf_{n\to\infty}(b_n), $$ esto es suficiente para mostrar que $$ \liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)\leq\liminf_{n\to\infty}(a_n)+\liminf_{n\to\infty}(b_n) $$ Creo que de alguna manera me tendría que usar $\liminf_{n\to\infty}(a_n)=\limsup_{n\to\infty}(a_n)=a$. Pero no veo cómo esto funciona.
