Existencia de un anillo totalmente ordenado con divisores cero

Question

¿Existe un anillo totalmente ordenado con divisores cero? Ahora mismo no se me ocurre ningún ejemplo.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Parece que hay dos definiciones contradictorias de un anillo ordenado. La primera la dio @martin-brandenburg en su comentario y también la utiliza L. Fuchs en su libro.

La segunda la propone J.K. Hodge en su libro Álgebra abstracta: Un enfoque basado en la investigación y es así:

Un anillo pedido es un anillo conmutativo $R$ que contiene un subconjunto $P$ tal que:

1. $P$ no está vacío;
2. si $a \in P$ y $b \in P$ entonces $a + b \in P$ y $ab \in P$ y
3. para cualquier $a \in R$ se cumple exactamente una de las siguientes condiciones: $a \in P$ , $a = 0$ o $ a \in P$ .

Permítanme reproducir la breve demostración del Teorema 18.3 señalada por @victor-m.

Teorema 18.3 . Un anillo ordenado no contiene divisores cero.

Prueba . Supongamos que $R$ es un anillo ordenado, y sea $a, b \in R$ con ambos $a$ y $b$ no es cero. Si $a, b > 0$ entonces $ab > 0$ y así $ab \not= 0$ . Supongamos que uno de $a$ o $b$ es positivo y el otro negativo. Sin pérdida de generalidad, supongamos $a > 0$ y $b < 0$ . Entonces $b > 0$ y así $(a)(b) > 0$ . Así, $(ab) > 0$ lo que significa que $ab \not= 0$ . El último caso es cuando $a > 0$ y $b > 0$ . Entonces $ab = (a)(b) > 0$ y así $ab \not= 0$ .

En conclusión, la respuesta depende de la definición de anillo ordenado.

Answer 2

L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems. Pergamon Press, 1963

Capítulo VIII, $\S 3$ "Anillos en O con divisores de cero".