Probando una función compleja es constante

Question

Que $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ser una función diferenciable. Demostrar eso si la función compleja

$f(x + iy) = u(x,y) + iu(x,y)$

es analítica en $\mathbb{C}$ entonces es una función constante.

Respuesta:

Si $f$ es una analítica satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann. Así $u_x = u_y$ y $u_x=-u_y$

Esto sólo puede suceder cuando $u_x$ y $u_y$ son igual $0$.

Como los derivados de parcial de $f$ $0$, $f$ debe ser una función constante.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí.

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Otra manera de pensar: $f(x+iy)=(1+i)u(x,y)$ tiene rango contenido en la línea $\{t(1+i):t\in\mathbb R\}$, $f$ es constante por el teorema abierto o por Liouville del teorema aplicado a $\frac{1}{f-1}$.

O $g(x+iy)=(1+i)^3f(x+iy)=-4u(x,y)$ (o simplemente $\frac{1}{1+i}f = u$) es real valor, que hace aplicación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann $g$ un poco más inmediatamente muestra que $g$ es constante.