Morfismo entre matrices y ecuaciones lineales

Question

Actualmente soy un principiante en álgebra lineal. Así, en algunos libros veo que los autores comienzan a definir las ecuaciones lineales y luego definen las matrices y, supuestamente, la definición de matriz asociativa es para manejar fácilmente las ecuaciones lineales. Sin embargo nunca establecen la conexión entre ambos objetos y nunca explican por qué es posible trabajar con matrices en sustitución de ecuaciones lineales.

Para algunos compañeros esto es irrelevante porque dicen que sólo me complico la vida con esas preguntas. Pero es importante y creo que el tratamiento que se da en esos libros o es muy informal para que los principiantes como yo puedan entender los conceptos o quizás es demasiado simple que me estoy perdiendo algo. He leído que generalmente se considera que dos objetos son iguales, por supuesto bajo ciertas propiedades, si existe una conexión entre ellos en términos de una correspondencia uno a uno (algo llamado morfismo, isomorfismo, monomorfismo, etc).

Entonces, ¿cómo establecer la biyección entre ecuaciones lineales y matrices considerando las operaciones elementales?

Answer 1

La forma general de la fila $i, \, 1 \leq i \leq m$ de un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ variables $x_j$ puede escribirse como $$\sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j = b_i,$$ $a_{i,j}, b_i \in \mathbb{R}.$

La forma general de la fila $i$ de un $m \times n$ matriz $A$ puede escribirse como $$(a_{i,1}, \dots, a_{i,n});$$ la forma general de un vector $b \in \mathbb{R^m}$ como $${(b_1, \cdots, b_m)}^t.$$ Se trata de la ecuación matricial de la forma $$Ax = b,$$ para los mismos valores $a_{i,j}, b_i$ como en el sistema de ecuaciones.

Dejemos que $E$ sea el espacio de tales ecuaciones para $b_i == 0$ (ya que sólo mapeamos a la matriz, el LHS de la ecuación matricial), descrita por sus entradas $a_{i,j}$ y $M^{m,n}$ definirse de la forma habitual. Por tanto, existe una biyección natural $\phi$ entre los dos, mapeando
$$\phi: E \rightarrow M^{m,n}, \quad \{a_{1,1}, \dots, a_{1,n}; a_{2,1}, \cdots , a_{m,n} \} \mapsto A = (a_{i,j}).$$ Probablemente sea obvio que este mapa es una biyección (también un isomorfismo) entre los dos espacios. ¿Es esto lo que buscabas? ¿O era que aplicar matrices elementales a un sistema representado por una ecuación matricial es lo mismo que realizar operaciones de fila en el sistema, y que estas operaciones no cambian el espacio solución? Demostrarlo no es difícil, pero requeriría una serie bastante larga de lemas.