Cómo mostrar $\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{ [x] + [2x] + [3x] + \dotsb + [nx] }{n^2} = x/2$?

Question

Esta pregunta vino de la prelim examen tomé el mes pasado. Tengo una prueba de que parece un poco difícil de manejar para mí (publicado como respuesta), así que me voy a abrir para preguntar si hay otras maneras de mostrar esto.

Deje que $x$ ser cualquier número real positivo, y definir una secuencia de $\{a_n\}$ por $$ a_n = \frac{ [x] + [2x] + [3x] + \dotsb + [nx] }{n^2} $$ donde $[x]$ es el entero más grande menor o igual a $x$. Demostrar que $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = x/2}$.

Answer 1

Desde $[x]=x+O(1)$, vemos que $$\frac{[x]+[2x]+\cdots+[nx]}{n^2}=\frac{x+2x+\cdots+nx}{n^2}+O\left(\frac{1}{n}\right).$$ Sumar, ya que $x$ es una constante fija, esto se convierte en $$\frac{x}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)$$ que converge a $\frac{x}{2}$ como $n\rightarrow \infty$.

Answer 2

Prueba por el teorema del sándwich, mediante el establecimiento de los límites superior e inferior para el límite.

Límite superior: Desde $[x] \leq x$, entonces

\begin{align*} a_n &= \frac{ [x] + [2x] + [3x] + \dotsb + [nx] }{n^2} \\ &\leq \frac{x + 2x + 3x + \dotsb + nx}{n^2} \\ &\leq \frac{\left( \sum_{i=1}^n i \right) x}{n^2} = \left( \sum_{i=1}^n i \right) \frac{x}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2} \frac{x}{n^2} = \frac{n(n+1)x}{2n^2} \end{align*}

Tomando $n \to \infty$, entonces $$ \lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)x}{2n^2} = \frac{x}{2}. $$

Límite inferior: considerar $x=1/m$. Por $km \leq n < (k+1)m$, donde $k \in \mathbb{N}$, minimizar el numerador y maximizar el denominador (desde $x$ es positivo) para obtener: $$ a_n \geq \frac{\left(\sum_{i=1}^{k-1}\right)m}{((k+1)m)^2} = \frac{(k-1)k}{2(k+1)^2m} $$

Tomando límites,

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_n &\geq \lim_{n \to \infty} \frac{(k-1)k}{2(k+1)^2m} \\ &\geq \frac{1}{2m}. \end{align*}

Desde los límites de respeto sumas, entonces este límite inferior se sostiene por ninguna suma de fracciones de la forma de 1 $/m$. Cualquier número real positivo de $x$ se puede escribir como (posiblemente) serie infinita donde los términos son de la forma $1/m$ y son monótonamente decreciente. (Esto es cierto desde $1/n \to 0$ pero $\sum 1/n \to \infty$. Por ejemplo, $\pi = 1/1 + 1/1 + 1/1 + 1/8 + 1/61 + \dotsb$. Por cierto, esta representación es también no necesariamente única.) Tomando el límite de las sumas parciales de esta serie, el límite inferior $\lim_{n \to \infty} a_n$ enfoques $x/2$.

Por lo tanto, por el teorema del sándwich, ya que $x/2$ es a la vez un límite inferior y superior $\lim_{n \to \infty} a_n$, entonces $x/2$ es el límite.

Answer 3

Como @user9176 dice, que $$\frac{x+2x+3x+\ldots +nx-n}{n^2}\leq a_n\leq \frac{x+2x+3x+\ldots +nx}{n^2},$$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Es claro que los límites de los extremos de la desigualdad son iguales. Calcular la derecha: $$ \begin{align*} \lim_{n\to \infty} \frac{x+2x+3x+\ldots +nx}{n^2} &= \lim_{n\to \infty} \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}x\\ &= \lim_{n\to \infty} \sum _{k=1}^{n} \frac{1-0}{n}\cdot \left( 0 + \frac{(1-0)k}{n} \right)x\\ &= \int_0 ^1 tx \text{ dt}\\ &= \frac{x}{2}. \end{align*} $$ Entonces $$\frac{x}{2}\leq \lim_{n\to \infty} a_n\leq \frac{x}{2}.$$

Answer 4

Por definición de la función del suelo,

$$kx-1\le\lfloor kx\rfloor\le kx.$$

Entonces la suma de $k$ $1$ $n$,

$$\frac{n(n+1)}2x-n\le\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor\le \frac{(n+1)n}2x.$$

Dividiendo por $n^2$ y tomando el límite,

$$\frac x2\le\frac1{n^2}\sum_{k=1}^\infty \lfloor kx\rfloor\le \frac x2.$$