Cómo probar que una función es clase $C^{\infty}(\mathbb{R}).$

Question

Me gustaría probar que esta función (con el $a, b\in \mathbb{R}$satisfacción $a < b$),

$$ f (x) =\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}\right), & \text{if },x\in (a,b)\,, \\ 0, & \text{if }x\notin (a,b)\text{} \end{casos} $$

es clase de $C^\infty (\mathbb{R}).$

¿Pero cómo?

Answer 1

Supongamos $a=0$$b=1$, debido a que el mismo razonamiento se aplica en general. Así que tenemos $f(x)=\exp\left(\frac{1}{x(x-1)}\right)$$(0,1)$. Composiciones de $C^\infty$ funciones $C^\infty$, por lo que la única posibles problemas en$0$$1$. Desde $f(x)=f(1-x)$, es suficiente para manejar $0$.

Vamos a empezar por mostrar que $f'(0)=0$. La parte izquierda de la diferencia de cocientes de a $0$$0$, por lo que es suficiente para mostrar que el $\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{f(x)}{x}=0$. Tenga en cuenta que $ \frac{1}{x(x-1)}<-\frac{1}{x}$ for $x\in(0,1)$, so it is enough to show that $\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{e^{-1/x}}{x}=0$. This is probably easiest to see by a change of variables, $t=1/x$, to yield $\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{e^{-1/x}}{x}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{e^{-t}}{1/t}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{t}{e^t}=0$.

Hasta ahora sabemos que $f'$ existe en todas partes. Ahora como Davide Giraudo indica en un comentario, usted puede demostrar por inducción que en $(0,1)$, $f^{(k)}(x)=R_k(x)f(x)$ para algunos la función racional $R_k$ tener polos sólo en$0$$1$. Voy a omitir la prueba de esto. Supongamos que para algunos $k$ sabemos que $f^{(k)}(0)=0$. Para mostrar que $f^{(k+1)}(0)=0$, tenemos que mostrar que $\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{R_k(x)f(x)}{x}=0$. Tenga en cuenta que $R_k(x)=\frac{g(x)}{x^{n}}$ para algunos entero $n$ y una función de $g$ que es continua en a $0$. De nuevo, desde el $f(x)<e^{-1/x}$, es suficiente para mostrar que $\frac{e^{-1/x}}{x^{n+1}}\to 0$$x\searrow 0$, y esto es sencillo desde el mismo cambio de las variables de $t=1/x$. (El caso base $k=1$ no era realmente necesario para mostrar ya que estamos, dado el caso base $k=0$, pero a pesar de que podría ser útil para empezar con el caso más simple y hacerlo más explícito.)

De nuevo, desde el $f(x)=f(1-x)$, esto también le da $f^{(k)}(1)=0$ todos los $k$, y esto se muestra (en forma de croquis) por $f$ es infinitamente diferenciable.