Un grupo con un 2-subgrupos de Sylow cíclica tiene un subgrupo Normal.

Question

Quiero probar lo siguiente:

Deje $G$ ser un grupo de orden $2^nm$ donde $m$ es impar, tener un cíclica de Sylow $2$-subgrupo. A continuación, $G$ tiene un subgrupo normal de orden $m$.

INTENTO:

Vamos a mostrar que el $G$ tiene un subgrupo de orden $m$. Deje $\theta:G\to \text{Sym}(G)$ ser el homomorphism que se define como $$ \theta(g)=t_g, \quad \forall g\in G $$ donde $t_g:G\to G$ se define como: $$ t_g(x)=gx, \quad \forall x\in G. $$ Deje $g$ ser un elemento de orden $2^n$$G$. (Existe un elemento desde $G$ tiene un cíclica de Sylow $2$-subgrupo.)

El cyclce representación de $t_g$ es un producto de $m$ ciclos disjuntos, cada uno de longitud $2^n$. Por lo tanto, $t_g$ es una permutación impar.

Así, el homomorphism $\epsilon\circ \theta:G\to\{\pm 1\}$ donde $\epsilon:\text{Sym}\to\{\pm 1\}$ es el signo homomorphism, es un surjection.

Por la Primera Isomprphism Teorema, llegamos a la conclusión de que el kernel $K$ $\epsilon\circ \theta$ es de orden $2^{n-1}m$.

Si $n$ eran iguales a $1$, entonces hemos terminado.

Si $n>1$, a continuación, tenga en cuenta que cualquier Sylow $2$-subgrupo de $K$ también es cíclico. Esto es porque cada Sylow $2$-subgrupo de $K$ está contenida en un Sylow $2$-subgrupo de $G$, donde el último es cíclico.

Ahora podemos inductivamente muestran que $K$ tiene un subgrupo de orden $m$.

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Lo que estoy luchando con la muestra de la normalidad.

Puede alguien por favor me ayude con esto.

Gracias.

Answer 1

Reclamo: Si un grupo de orden $2^nm$, $m$ impar, ha cíclico de Sylow-2 subgrupo, a continuación, $G$ tiene el único subgrupo de orden $m$.

Prueba: la Inducción en $n$ -$n=1$, como se mostró, el kernel $K$ orden $m$, que es un subgrupo normal. Si hay otro subgrupo $H$ orden $m$, entonces el producto de a $KH$ es un subgrupo de (desde $K\trianglelefteq G$) de orden impar (igual a $|H|.|K|/|H\cap K|$), y es mayor que $m$ (desde $H\neq K$), lo cual es imposible dado que la mayor extraña orden dividiendo $|G|$$m$.

Supongamos que el teorema queda demostrado por los grupos de orden $2m, 2^2m, \cdots, 2^{n-1}m$ (que contiene cíclico de Sylow-$2$). Deje $|G|=2^nm$, con cíclico Sylow-2. Como usted señaló, kernel $K$ orden $2^{n-1}m$, la cual contiene un único subgrupo de orden $m$ (por inducción), dicen que es $L$. Por lo tanto $L$ es característico en $K$ y $K$ es normal en $G$, se deduce que el $L\trianglelefteq G$.

De nuevo, como en el apartado anterior (en el punto de partida de la prueba), podemos concluir que $G$ tiene el único subgrupo de orden $m$, una conclusión más fuerte de lo que esperaba.

(Ejercicio muy Simple: $H$ es característico en $K$ y $K\trianglelefteq G$ $\Rightarrow$ $H\trianglelefteq G$. Sólo hay que aplicar la definición de lo contrario, consulte este)