Probar que la siguiente declaración implica el Axioma de Elección:
Deje $ C $ es un conjunto (de conjuntos) y $ B $ es un conjunto tal que para todos los $ c \in C $, existe un $ b \in B $ tal que $ b \not\in c $. Entonces existe una función de $ F: C \to B $ tal que $ F(c) \not\in c $.
En otras palabras, se nos da un "anti-elección", función que nos da los elementos no en cada conjunto.
Cualquier "habitual" de la formulación del Axioma de Elección (elección de la función, no vacía producto Cartesiano, Zorn, etc.) está bien.
Intento de solución: El habitual de las formulaciones de la CA involucrar a escoger los elementos de los conjuntos. Sin embargo, aquí se nos da una manera de recoger las cosas no en un conjunto.
Mi primer intento fue el de mostrar la existencia de una función de elección. Así que vamos a $ A $ ser un conjunto (de conjuntos). La aplicación de $ F $ a este dominio nos da un elemento en $ B $ (sin especificar) no $ A $. Así que aquí es donde me quedo atascado. Dado un elemento no en $ a \in A $, no veo cómo puedo asignar a un elemento en $ a $.
Algo un poco más inteligente de lo que se debe hacer.
Para cada elemento $ a \in A $, que considera la unión de $ A-\{ a \} $ (llamar a este mapeo $ g $). Vamos a llamar a $$ C = \{ \cup (A-\{ a \}) \mid a \in A \} $$
y establecer$ B $$ \cup A $. Si los conjuntos de $ A $ eran distintos, a continuación, $ F \circ g $ nos daría la opción deseada de la función. Pero para los distintos conjuntos, de nuevo estoy atascado.
