EDIT: Esta pregunta es en realidad un intento de solucionar esto. Por favor, eche un vistazo.
Deje $A$ ser simétrica positivamente definida $n\times n$ de la matriz, es decir, $A\in\mathbb{S}_{++}^{n}$ También $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$. Deje $Q\colon\mathbf{R}^n\to\mathbb{R}^{*}_{+}$ ser la siguiente forma cuadrática $$ Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}. $$
Si aplicamos la enfermedad vesicular porcina (Descomposición de Valor Singular) en $A$, tenemos $$ A=P\Lambda P^T $$ donde $P$ es una matriz ortogonal, y $\Lambda=\operatorname{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ es la matriz diagonal de la (positivo) los autovalores de $A$, $\lambda_i>0$, $i=1,\ldots,n$.
Me gustaría expresar el anterior forma cuadrática, $Q(\mathbf{x})$, en términos de la $2$-norma de $\mathbf{x}$, así como la matriz de $A$ (de alguna manera, por ejemplo, en términos de la $2$-norma de $\Lambda$, o algo más).
Lo que he pensado hasta ahora es la siguiente: $$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x} = \mathbf{x}^T P \Lambda P^T \mathbf{x} = \Big(\mathbf{x}^T P \Lambda^{\frac{1}{2}}\Big)\Big(\Lambda^{\frac{1}{2}} P^T \mathbf{x}\Big) = \Big(\big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x}\Big)^T \Big(\Lambda^{\frac{1}{2}} P^T \mathbf{x}\Big). $$
Ahora, si partimos $\mathbf{x}_a=\big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n$, entonces la ecuación cuadrática se puede escribir como $$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}_a^T\mathbf{x}_a = \big\lVert \mathbf{x}_a \big\rVert^2_2 = \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x} \Big\rVert^2_2. $$
Hasta donde yo sé (gracias a @DanielFischer - si no me malinterpreten sus palabras), la siguiente es cierto $$ Q(\mathbf{x}) = \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x} \Big\rVert^2_2 \leq \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T \Big\rVert^2_2 \Big\lVert \mathbf{x} \Big\rVert^2_2. $$
Mi pregunta es: (a) Son todas las anteriores correcto? (b) ¿hay alguna manera de deshacerse de la desigualdad, dado que $A$ es simétrica y positiva definida? Por otra parte, podemos definir una función de $f\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{S}_{++}^{n}\to\mathbb{R}$, de tal manera que $f(\mathbf{x},A)=Q(\mathbf{x})$ donde $f$ se expresa en términos de la $2$-norma de $\mathbf{x}$, así como en términos de $A$ en alguna manera (por ejemplo, en términos de $\Lambda$, etc.)? (c) Cualquier otra sugerencia?
Gracias de antemano!
