Expresan una forma cuadrática, $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ en términos de $\lVert\mathbf{x}\rVert^2$, $A$

Question

EDIT: Esta pregunta es en realidad un intento de solucionar esto. Por favor, eche un vistazo.

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Deje $A$ ser simétrica positivamente definida $n\times n$ de la matriz, es decir, $A\in\mathbb{S}_{++}^{n}$ También $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$. Deje $Q\colon\mathbf{R}^n\to\mathbb{R}^{*}_{+}$ ser la siguiente forma cuadrática $$Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}.$$

Si aplicamos la enfermedad vesicular porcina (Descomposición de Valor Singular) en $A$, tenemos $$A=P\Lambda P^T$$ donde $P$ es una matriz ortogonal, y $\Lambda=\operatorname{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ es la matriz diagonal de la (positivo) los autovalores de $A$, $\lambda_i>0$, $i=1,\ldots,n$.

Me gustaría expresar el anterior forma cuadrática, $Q(\mathbf{x})$, en términos de la $2$-norma de $\mathbf{x}$, así como la matriz de $A$ (de alguna manera, por ejemplo, en términos de la $2$-norma de $\Lambda$, o algo más).

Lo que he pensado hasta ahora es la siguiente: $$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x} = \mathbf{x}^T P \Lambda P^T \mathbf{x} = \Big(\mathbf{x}^T P \Lambda^{\frac{1}{2}}\Big)\Big(\Lambda^{\frac{1}{2}} P^T \mathbf{x}\Big) = \Big(\big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x}\Big)^T \Big(\Lambda^{\frac{1}{2}} P^T \mathbf{x}\Big).$$

Ahora, si partimos $\mathbf{x}_a=\big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n$, entonces la ecuación cuadrática se puede escribir como $$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}_a^T\mathbf{x}_a = \big\lVert \mathbf{x}_a \big\rVert^2_2 = \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x} \Big\rVert^2_2.$$

Hasta donde yo sé (gracias a @DanielFischer - si no me malinterpreten sus palabras), la siguiente es cierto $$Q(\mathbf{x}) = \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T\mathbf{x} \Big\rVert^2_2 \leq \Big\lVert \big(P \Lambda^{\frac{1}{2}}\big)^T \Big\rVert^2_2 \Big\lVert \mathbf{x} \Big\rVert^2_2.$$

Mi pregunta es: (a) Son todas las anteriores correcto? (b) ¿hay alguna manera de deshacerse de la desigualdad, dado que $A$ es simétrica y positiva definida? Por otra parte, podemos definir una función de $f\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{S}_{++}^{n}\to\mathbb{R}$, de tal manera que $f(\mathbf{x},A)=Q(\mathbf{x})$ donde $f$ se expresa en términos de la $2$-norma de $\mathbf{x}$, así como en términos de $A$ en alguna manera (por ejemplo, en términos de $\Lambda$, etc.)? (c) Cualquier otra sugerencia?

Gracias de antemano!

Answer 1

(a) el cálculo es correcto. Su estimación final no es nada más que $Q(x)\le \|A\|_2 \|x\|_2^2$.

En cuanto a (b): usted no puede deshacerse de la desigualdad. Es fácil ver [1] $$\lambda_\min \|x\|_2^2 \le x^Impuestos \le \lambda_\max \|x\|_2^2$$ con $\lambda_\min$, $\lambda_\max$ más pequeño y más grande autovalor de a $A$. La igualdad en una de estas estimaciones se logra si $x$ es un autovector de la más grande/más pequeño autovalor.

De ello se sigue que si $$x^Impuestos = c \|x\|_2^2 \quad \forall x$$ with some constant $c$, then $A=c\cdot I$. That is, in order to have equality for all $x$ then $$ debe ser un múltiplo de la identidad.

[1] Desde $A$ es simétrica, existe una base ortonormales de vectores propios. Esto puede ser usado para demostrar la desigualdad. Estoy seguro de que ya hay preguntas & respuestas abordar esta en matemáticas.SE.