Intuición acerca de las $v\otimes w$

Question

En la Física y la Geometría Diferencial generalmente los tensores de tipo $(k,l)$ sobre un espacio vectorial $V$ $\mathbb{F}$ se definen como funciones multilineales

$$f : \underbrace{V\times\cdots\times V}_{k \ \mathrm{terms}}\times\underbrace{V^\ast\times\cdots\times V^\ast}_{l \ \mathrm{terms}}\to\mathbb{F}$$

esto hace que sea muy simple para reunir a algunos de comprensión de $(k,0)$ tensores, desde un punto de vista intuitivo. Ellos son sólo $k$-funciones lineales de los vectores y puede ser utilizado como funciones lineales de los vectores o como el interior de los productos y así sucesivamente. También no es difícil ver por qué a uno le preocupan estos.

Ahora, por otro lado, los tensores de tipo $(0,l)$ también aparecen en la Física con bastante frecuencia. De hecho, Maxwell del Tensor de tensiones es:

$$\mathcal T = \epsilon_0\left[ \mathbf{E}\otimes\mathbf{E}+c^2\mathbf{B}\otimes\mathbf{B} -\frac12\sum_i\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_i\left(E^2+c^2 B^2\right) \right].$$

Los objetos no son muy intuitiva en mi humilde opinión. En primer lugar, un tensor de tipo $(0,l)$ es una función lineal funcionales en este enfoque, y esto hace que sea un poco más difícil de hacer sentido de física y geométrica punto de vista.

El otro enfoque posible para los tensores es el basado en el universal de la propiedad. Como tengo entendido, la idea básica de este enfoque es que en el final de la construcción (con cociente de espacios y así sucesivamente) muestra que existe una manera de hacer sentido de que el producto $v_1\otimes\cdots \otimes v_k$ y que tiene todas las propiedades atractivas queremos.

En ese caso, un tensor de tipo $(0,l)$ como se definió anteriormente es un elemento de $V\otimes\cdots\otimes V$. Por supuesto, para entender los objetos, es suficiente para entender por $v,w\in V$ $v\otimes w$ puede ser entendido.

Así que mi pregunta es: yo sé que las construcciones son isomorfos y sé que a partir de un riguroso punto de vista de lo $v\otimes w$ es, ahora, ¿cómo puede uno intuitivamente sentido de $v\otimes w$? De nuevo, pensar en ello como una función lineal funcionales no parece mucho más intuitivo. Así, en cuanto a como un elemento de $V\otimes V$ ¿cómo podemos darle algunos geométrica y física de la intuición?

El objeto de $v\wedge w \in V\wedge V$ tiene una agradable forma de ser comprendido: puede ser pensado como la paralelogram generado por $v$$w$, que es una zona orientada hacia de la misma manera como $v$ $w$ están orientados a los segmentos. Ahora, ¿hay una buena manera de entender $v\otimes w$?

Answer 1

$v\otimes w$ es cualquiera de las siguientes:

El rango lineal 1 asignación de $V^*\to V$ $\alpha\mapsto v.\langle \alpha,w\rangle$ donde $\langle\;,\;\rangle:V^*\times V\to \mathbb F$ es la dualidad. Este es el más fácil de visualizar.

El descomponible forma bilineal $V^*\times V^*\to \mathbb F$$(\alpha,\beta)\mapsto \langle\alpha,v\rangle \langle\beta,w\rangle$.

Answer 2

En primer lugar, creo que es útil pensar en una "función de un funcional lineal" y un "vector" como más o menos equivalente, como usted ha mencionado. Una "función de un funcional lineal" es algo que, cuando se combina con un covector, produce un escalar. Un vector se ajusta a esta descripción exactamente. También, el espacio dual de un espacio dual es naturalmente isomorfo al espacio original, $V^{**} \simeq V$, más dando a entender que los dos son equivalentes en algún sentido.

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Para la visualización, la simplificación de los tensores ya han común visualizaciones. Los escalares son números. $(0,1)$-tensores, puede ser pensado como flechas (vectores). $(1,0)$-tensores pueden ser considerados como planos o conjuntos de nivel (covectors). $(1,1)$-tensores pueden ser considerados como las transformaciones entre los vectores y covectors.

Usted puede pensar de más alto rango de los tensores, como objetos que se convertirán en la parte inferior rango tensores está familiarizado con, cuando les da el derecho de los insumos. Hay dos maneras principales en las que se puede pensar de los tensores:

1. Una máquina que llena todas sus ranuras de entrada con vectores y covectors y produce un número real.
2. Una máquina que parcialmente llena su entrada ranuras con vectores y covectors para producir una nueva de bajo rango del tensor.

Por ejemplo, un tensor $T \in V \otimes V^*$ puede ser considerado como una máquina que se alimenta de un vector $v \in V$ y un covector $\alpha \in V^*$ a producir un escalar, $T: V \otimes V^* \rightarrow \mathbb{R}$. Esta es la visualización de $T$ como una forma bilineal.

También podemos ver $T$ como una transformación lineal si le damos un único vector $v\in V$. Lo que queda es una máquina de $S:V^* \rightarrow \mathbb{R}$ que toma un covector y produce un número real, es decir, un vector. Por lo que podemos ver $T$ como algo que toma un vector para producir un nuevo vector $T:V \rightarrow V$.

También podríamos interpretar $T$ como una transformación lineal en covectors $T: V^* \rightarrow V^*$ por la misma razón.

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En general, la alimentación de un vector a un tensor producirá un tensor con uno menos covariante índice. Asimismo, la alimentación de un tensor de un covector producirá un tensor con uno menos contravariante índice.

Esto puede parecer enrevesado, pero tiene sentido porque el espacio de un tensor de la vida en y el espacio de los vectores/covectors acepta son "volteado". (Un tensor $T\in V \otimes V \otimes V \otimes V^* \otimes V^*$ acepta entradas desde el espacio $V^* \times V^* \times V^* \times V \times V$, ya que los vectores y covectors debe venir en pares para producir un escalar.)