Mostrando que los arcos no separar el plano de la $\mathbb{R}^2$

Question

Es $\mathbb{R}^2\setminus f([0,1])$ conectado si $f:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ es una incrustación?

Parece que esto es claramente cierto, pero estoy teniendo un duro momento de probarlo. Lo único que sé es que $f([0,1])$ es compacta y simplemente conectado.

Desde $H=\mathbb{R}^2\setminus f([0,1])$ está abierto en $\mathbb{R}^2$, podemos demostrar que $H$ es localmente trayectoria-conectado y por lo tanto sus componentes conectados y la ruta de acceso conectados a componentes son los mismos, o más precisamente, $A\subset H$ es un componente conectado, si y sólo si es un camino-componente conectado.

Desde $f([0,1])$ es limitada, está contenida en un disco de $D$. Por lo tanto, si $H$ tiene una separación de $\{U,V\}$ (no-vacío, abierto y discontinuo con la unión de $H$), $U\cap (\mathbb{R^2}\setminus D)$ $V\cap (\mathbb{R^2}\setminus D)$ son abiertos disjuntos con el sindicato de la $\mathbb{R^2}\setminus D$. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $U\subset D$. De hecho, cualquiera de las $U\cap (\mathbb{R^2}\setminus D)$ o $V\cap (\mathbb{R^2}\setminus D)$) está vacía, debido a $\mathbb{R^2}\setminus D$ está conectado.

Finalmente, tenemos que $\{U,V,f([0,1])\}$ es una partición de a $\mathbb{R}^2$ donde $U$ $V$ están abiertos y $f([0,1])=\partial U \cup \partial V$ $U$ está acotada.

Suena como tengo que usar el de la Curva de Jordan Teorema de alguna manera.

Answer 1

Creo que tienes razón cuando dicen que usted puede utilizar el Jordán de la Curva de Teorema. En primer lugar, queremos crear una estrecha curva, así que tomamos un tubular barrio de la imagen de $f$ y sacamos una copia paralela de $f$ en este tubular barrio. Usted puede unirse los puntos finales de dos segmentos mediante una línea recta en su tubular barrio.

Entonces, por el Jordan de la Curva de Teorema, esta curva que separa el plano en dos conectados región $\mathcal{U},$ $\mathcal{V}$. Por otra parte, se puede demostrar que, por construcción, ambos serán localmente ruta de acceso conectado y, por tanto, ruta de acceso conectado. Por lo tanto, usted sólo necesita demostrar que usted puede unirse a un elemento de $\mathcal{U}$ a un elemento de $\mathcal{V}$ por un camino que no se cruzan $f([0,1]).$ con el fin De hacer eso, tomar un pequeño barrio de la copia paralela de $f$ que dibujó y tomar la línea a de estar ahí. Usted entonces demostrar que $\mathbb{R}^2 \backslash f([0,1])$ es la ruta de acceso conectado, y por lo tanto conectado

Answer 2

Estuve leyendo un poco y me enteré de que este problema está lejos de ser trivial, y en realidad puede ser utilizado como el núcleo de la prueba de la Jordania de la curva de teorema. Voy a publicar algunos enlaces que he encontrado en la web con cinco pruebas diferentes del Jordán arco teorema (de la cual los estados que $\mathbb{R}^2\setminus f([0,1])$ está conectado si $f$ es e incrustación de objetos) y la de la Curva de Jordan Teorema, respectivamente. Uno de ellos mediante el uso de Janizewski del teorema, otros, utilizando el Brouwer del punto fijo teorema en el que se muestra que, si $\mathbb{R}^2\setminus f([0,1])$ no está conectado, entonces podemos construir una retracción en el disco $D^2$ a de la circunferencia $S^1$, lo cual es imposible. http://www.helsinki.fi/~luisto/JordanCurveTheorem.pdf

También he encontrado una interesante prueba el uso de rejillas: http://pages.vassar.edu/mccleary/files/2011/04/FinalChapter9.pdf

Este es otro enfoque utilizando el estándar de caminos y curvas estándar: http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/dosttind.pdf

Y aquí el uso de gráficos.

Pero todavía estoy interesado en una prueba utilizando el Jordán de la Curva de Teorema. @djvyu72 dio una idea de cómo se puede aplicar, pero es aún incompleta.

Answer 3

Usted puede utilizar el resultado para demostrar el Jordán curva teorema (ver, por ejemplo, Fulton, el libro de Topología Algebraica).

Supongamos, por el bien de una contradicción, que $I$ es homeomórficos a $[0,1]$ $U\subseteq \Bbb R^2-I$ tiene dos componentes conectados. Divida $[0,1]$ en dos mitades que se intersecan en un punto, y dejar que $I_1$ $I_2$ la correspondiente arcos. Luego me dicen que si $x,y$ se encuentran en diferentes componentes conectados de $U$, que debe ser en cualquiera de los diferentes componentes conectados de $U_1=\Bbb R^2-I_1$ o $U_2=\Bbb R_2-I_2$. Sabemos que existe una localmente constante de la función $f:U\to \Bbb R$ tal que $f(x)\neq f(y)$. Yo reclamo que $f$ es de la forma $f_1-f_2$ donde $F_i:U_i\to\Bbb R$ es continuo localmente constante y $f_i=F_i\mid U_1\cap U_2$. De hecho, se puede construir una partición de la unidad $\psi_1,\psi_2$ subordinada a la apertura de la tapa $U_1,U_2$ $U_1\cup U_2$ y considerar $F_1=f\psi_1$, $F_2=-f\psi_2$.

Sabiendo esto, la afirmación de la siguiente manera, para el si $x,y$ estaban en el mismo los componentes conectados de ambos $I_i$, podríamos escribir $f=f_1-f_2$ y tendríamos $f_i(x)=f_i(y)$ contradiciendo nuestra selección de $f$.

Podemos continuar este, para obtener una secuencia de intervalos de $I_1,I_2,I_3,\ldots$ que la mitad de la longitud en cada paso para que $x,y$ están en distintos componentes conectados de cada una de las $\Bbb R^2-I_i$. Ahora $\bigcap I_i=\{p\}$ es un punto y $\Bbb R^2-p$ es la ruta de acceso conectado, así que podemos tomar un camino de $x\to y$, y podemos tomar una bola de $B$ tal que $p\in B$ no se cruzan por este camino. Pero $\Bbb R^2-B$ es también la ruta de acceso conectado, y podemos tomar $J$ suficientemente grande como para que $I_J\subset B$, lo que significa que $\Bbb R^2-B\subseteq \Bbb R^2-I_J$. Esto contradice el hecho de que $x,y$ estaban en diferentes componentes conectados, y termina la prueba.