La Regla de Simpson y otros Newton-Cotes Fórmulas

Question

Estoy curioso sobre el valor de la regla de Simpson (también llamado el parabólico o regla de los 3 puntos de la regla) para aproximar las integrales. El cálculo de texto ahora soy la enseñanza de los usos de esta regla en cualquier momento una aproximación es necesaria para que una integral. Por ejemplo, puede dar un poco de desorden arclength integral y preguntar por la regla de Simpson aproximación utilizando los 4 intervalos (y por lo tanto la muestra 5 puntos):

$$ \int_a^{a+4h} f(x) dx \simeq \frac{h}{3}\left(f(a)+ 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h)+ f(a+4h)\right).$$

Entiendo la idea de la Regla de Simpson. Si usted acaba de muestrearon tres puntos espaciados en una función cuadrática, se puede calcular la integral en el intervalo con la ponderación de patrón $(1,4,1)$; esto sucede a dar la respuesta correcta para polinomios de grado 3 como bien. El $(1,4,2,4,2, \ldots, 4,2,4,1)$ patrón proviene de la repetición de este patrón en cada par de intervalos.

Pero no estoy convencida de que siempre debemos aplicar esta regla en cualquier momento se corta en $2n$ intervalos. Por qué no usar simplemente tirar de la irregular ponderación y el uso de unos cuantos más puntos de muestra? Si la ponderación es tan útil, ¿por qué no utilizar una forma más complicada de ponderación (como los diversos $n$-punto de reglas (Newton-Cotes fórmulas) se describe aquí)?

El método de Newton-Cotes fórmulas y sus términos de error de formar una bella teoría, pero son probablemente demasiado para preuniversitarios de cálculo! Entiendo que muestra la regla de Simpson y se va sin más.

Así que tengo dos preguntas principales-es la regla de Simpson tan útil ese cálculo, los estudiantes siempre deben utilizar para aproximaciones? Y están los otros Newton-Cotes fórmulas (o de cuadratura de Gauss) siempre que la mejor forma de integración numérica, o sólo cuando los valores de $f(x_i)$ son lo suficientemente caro para calcular?

Answer 1

Pero no estoy convencida de que siempre debemos aplicar esta regla en cualquier momento que cortar en $2n$ intervalos. ¿Por qué no acaba de lanzar la irregular ponderación y el uso de un poco más de puntos de muestra? Si la ponderación es tan útil, ¿por qué no el uso de una forma más complicada de ponderación (como los diferentes n-punto de reglas (Newton-Cotes fórmulas) ... )?

El problema con Newton-Cotes métodos de alto orden es el que hereda el mismo tipo de problemas que ver con el uso de alta el fin de polinomios de interpolación. Recuerde que el método de Newton-Cotes de la cuadratura de las reglas se basan en la integración de la interpolación polinómica de aproximaciones a su función en puntos equidistantes.

En particular, existe el fenómeno de Runge: alto-orden de la interpolación de funciones son en general bastante oscilatorio. Esta oscilación se manifiesta en los pesos de las de Newton-Cotes reglas: en particular, los pesos de Newton-Cotes de cuadratura reglas para 2 a 8 puntos y 10 puntos (Simpson es el de tres puntos de la regla) son todos positivos, pero en todos los demás casos, hay pesos negativos presentes. La razón para insistir en pesos del mismo signo para una regla de cuadratura es el fenómeno de la sustracción de cancelación, donde casi dos cantidades iguales se restan, dando un resultado que tiene menos cifras significativas. Asegurándose de que todos los pesos tienen el mismo signo, cualquier cancelación que pueden producirse en el cálculo es debido a la función misma de ser integrada (por ejemplo, la función tiene un cero simple en el intervalo de integración) y no es debido a la regla de cuadratura.

El enfoque de la rotura de una función en intervalos más pequeños y la aplicación de un orden inferior de cuadratura como regla de Simpson es, efectivamente, la integración de un polinomio a trozos aproximación. Desde polinomios a trozos se sabe que tienen una mejor aproximación a las propiedades de polinomios de interpolación, este buen comportamiento se hereda por el de la cuadratura del método.

Por otro lado, aún se puede salvar el polinomio de interpolación de enfoque si uno ya no insiste en que espaciados igualmente los puntos de muestreo. Esto da lugar a, por ejemplo, Gauss y Clenshaw-Curtis cuadratura reglas, donde los puntos de muestreo son las raíces de los polinomios de Legendre en la antigua, y las raíces (o extrema en algunas implementaciones) de los polinomios de Chebyshev en el último. (La discusión de estos haría esta respuesta es demasiado largo, así que no diremos más acerca de ellos, excepto que estas reglas de cuadratura tienden a ser más preciso que el correspondiente Newton-Cotes regla para el mismo número de la función de las evaluaciones.)

...es la regla de Simpson tan útil ese cálculo, los estudiantes siempre deben utilizar para aproximaciones?

Como con cualquier herramienta, ciego uso puede llevar a un montón de problemas. En particular, sabemos que un polinomio nunca puede tener asíntotas horizontales o verticales tangentes. Es lógico que un polinomio será una mala aproximación a una función con estas características, y por lo tanto una regla de cuadratura basado en polinomios de interpolación también se comportan mal. Los trozos enfoque ayuda un poco, pero no mucho. Siempre debemos tener en cuenta una (inteligente?) el cambio de las variables para eliminar esas características antes de aplicar una regla de cuadratura.

Answer 2

La razón para la enseñanza de la regla de Simpson es que se lleva a casa los fundamentos de la aproximación, ayudando a los alumnos a entender que el número de puntos y el camino entre ellos afecta a la precisión. Es por eso que yo siempre emparejado con una simple mano derecha o izquierda y en el centro de muestreo. El simple línea recta de aproximación de ayuda al estudiante a comprender el ámbito de la interpretación y de la forma más complicada de Simpson muestra que no es tan simple como tomar la suma de un montón de áreas rectangulares.

Yo sugeriría mirar a la presentación de la asignatura en Stewart Cálculo; es un buen texto introductorio. Cuando yo era tutoría sin embargo, he encontrado el estilo de conferencia de la escritura en Larson para ser una buena manera de inspirar a mi verbalización.

Una cosa para recordar es el nivel de la introductorios de cálculo, el punto es menor en la enseñanza de los mejores métodos, como la selección de los métodos que mejor forma de demostrar el concepto subyacente. Si son demasiado atrapados en la mecánica de la aproximación, no eres la enseñanza de cálculo, eres la enseñanza de los métodos numéricos.