¿Existen categorizaciones de elementos primos o irreducibles (de un anillo, por ejemplo)?

Question

Hay una categorización de lo que significa ser un elemento de un conjunto; de hecho, desde el punto de vista de Goldblatt Topoi: el análisis categorial de la lógica tenemos esto

Definición: En cualquier categoría $\mathbb{C}$ con objeto de terminal $1_{\mathbb{C}}$ , un elemento de un $\mathbb{C}$ -objeto $a$ es un $\mathbb{C}$ -flecha $1_{\mathbb{C}}\stackrel{x}{\to}a$ .

La idea de categorización es, la de sustituir conjuntos por categorías, elementos por objetos, relaciones entre elementos por morfismos entre objetos, etc., por lo que quizás lo anterior no sea bastante una categorización de un elemento.

Está la categoría de anillos y homomorfismos de anillos.

Así pues, ¿existen categorizaciones de las nociones de prime o irreducible elementos (de un anillo, por ejemplo)?

Answer 1

Un objeto $X$ de una categoría se llama indecomponible si $X$ no inicial y para cada descomposición del coproducto $X = A \oplus B$ tenemos que, o bien $A$ o $B$ es inicial. De la misma manera, $X$ se llama simple (o irreducible ) si $X$ tiene exactamente dos cocientes. Ambas nociones son muy comunes en la teoría de la representación. En Categorías de Krull-Schmidt hemos categorizado las factorizaciones primarias.