Cuál es una prueba fácil de la orientabilidad de la variedad de Stiefel $V_2(\mathbb{R}^4)$ (pares de vectores ortonormales de $\mathbb{R}^4$ - subconjunto de $\mathbb{R}^8$ )? Todas las pruebas que he encontrado tratan de grupos de Lie y otras cosas complicadas para mí. Supongo que hay una prueba fácil porque la tarea me la dio mi profesor en la universidad, y nuestro curso de geometría diferencial no incluye grupos de Lie.
Respuesta
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Richard Wagner
Puntos
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Finalmente, he resuelto este problema.
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Lema Dejemos que $f_1(x_1, \dots, x_n), \dots, f_k(x_1, \dots, x_n)$ sean funciones reales; colector liso $M$ es el conjunto de soluciones del sistema { $f_1(x_1, \dots, x_n) = c_1, \dots, f_k(x_1, \dots, x_n) = c_k$ } y $\mathrm{grad} f_1, \dots, \mathrm{grad} f_k$ son linealmente independientes en cada punto de $M$ . Entonces $M$ es orientable.
En primer lugar, vamos a dar una definición alternativa de orientabilidad:
La variedad lisa M es orientable si y sólo si $\;\forall$ bucle $L(t)$ (continuo) $L: [0; 1] \to M$ tal que L(0) = L(1)) todo marco continuo $F(t)$ del espacio tangente de $L(t)$ orientación de $F(0)$ es igual a la orientación de $F(1)$ en el espacio tangente de $L(0) = L(1)$ .
Prueba por contradicción. Existe $L$ , $F$ tal que $F(0)$ y $F(1)$ no están igualmente orientados. Consideremos la matriz $Z(t)$ con filas: gradientes $\mathrm{grad} f_1, \dots, \mathrm{grad} f_k$ en $L(t)$ y los vectores de $F(t)$ . Producto escalar de $\mathrm{grad} f_i$ y $v_j$ de $F(t)$ es igual a $(f_i(w_j(0)))'$ , donde $w_j$ es la línea de coordenadas correspondiente a $v_j$ . $w_j(q) \in M \Rightarrow (f_i(w_j(0)))' = (c_i)' = 0 \Rightarrow $ producto escalar es igual a 0. Por lo tanto, para todo $t$ todas las filas de $Z(t)$ son linealmente independientes, y $|Z(t)| \neq 0$ .
Veamos $Z(t)$ desde el otro lado. La parte del gradiente es la misma cuando $t = 0$ y $t = 1$ porque la parte del gradiente sólo depende del punto en el colector, y tenemos $L(0) = L(1)$ . $F(0)$ y $F(1)$ tienen orientaciones diferentes. Por lo tanto, las filas de $Z(0)$ y filas de $Z(1)$ no están igualmente orientados en $\mathbb{R}^n$ . Esto significa, sin pérdida de generalidad, que $|Z(0)| > 0$ y $|Z(1)| < 0$ . $|Z|$ es continua debido a los gradientes y $F$ son continuos. Utilizando estos hechos , deducimos la existencia de $\theta \in [0; 1] : |Z(\theta)| = 0$ .
Contradicción.
La orientabilidad de las variedades de Stiefel puede deducirse fácilmente del lema, porque la variedad de Stiefel puede representarse como un conjunto de soluciones de
$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1;$
$x_5^2 + x_6^2 + x_7^2 + x_8^2 = 1;$
$x_1 x_5 + x_2 x_6 + x_3 x_7 + x_4 x_8 = 0;$
Se pueden calcular los gradientes y ver que se dan las condiciones del lema.
De forma más general, este lema puede aplicarse a cualquier colector de Stiefel.
