El Primer Exponente De Polinomios

Question

Este fue un problema que mi amigo tenía en su final por una discreta en la clase de matemáticas que él mencionó que él no podía entender. He intentado, pero yo realmente no sé cómo empezar.

Deje $f(x)\neq 0$ ser un polinomio en $\mathbb{Z}$. Demostrar que existe un no-cero del polinomio $g(x)$ tal que $f(x)g(x)$ tiene sólo el primer exponentes.

Answer 1

Si $f$ es constante, la propiedad es fácil, así que supongo que el grado de $f$$d\geq 1$. Deje $g\in \mathbb{Q}[x]$. Existe $q,r$, polinomios tales que el grado de $r$ $\leq d-1$ (o $r=0$), y $g=qf+r$. Definir $T$$\mathbb{Q}[x]$$T(g)=r$. A continuación, $T$ $\mathbb{Q}$- lineal de la aplicación de la $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $E=\mathbb{Q}[x]$ en el espacio vectorial $F$ de los polinomios de grado $\leq d-1$, que es de dimensión $d$. Ahora tome $p_1,\cdots,p_{d+1}$ distintos números primos. El $T(x^{p_j})$ no son linealmente independientes en $F$, por lo que no existe $a_j\in \mathbb{Q}$, no todos los $0$, de tal manera que $\displaystyle \sum_j a_jT(x^{p_j})=T(\sum_j a_j x^{p_j})=0$ es decir $\sum_j a_j x^{p_j}$ es divisible por $f$. Por lo tanto, no existe $g\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $\displaystyle f(x)g(x)=\sum_j a_j x^{p_j}$. Multiplicando $g$ por entero distinto de cero, podemos suponer que $g \in \mathbb{Z}[x]$.

Answer 2

Deje $n$ es el grado de $f$, y deje $V_n$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial de polinomios de grado menor que $n$. El espacio vectorial de dimensión de $V_n$$n$. Considere la posibilidad de $n + 1$ monomials$$x^{p_1}, x^{p_2}, \dots, x^{p_{n+1}},$$where $p_1, p_2, \dots, p_{n+1}$ are arbitrary $n+el 1$ distinct prime numbers. Consider their remainders modulo $f$. They are $n + el 1$ elements of $V_n$, and thus they are linearly dependent. Hence, there are $a_1, a_2, \dots, a_{n+1} \in \mathbb{Q}$ such that$$h(x) = a_1x^{p_1} + a_2x^{p_2} + \dots + a_{n+1}x^{p_{n+1}}$$is divisible by $f$. Clearly, we can assume that $a_1, a_2, \dots, a_{n+1} \in \mathbb{Z}$. Thus, $g$ is the quotient of $h$ by $f$. Scaling $h$ by a proper integer factor, we can also assume that $g \in \mathbb{Z}[x]$ si es necesario.