Cómo encontrar interesantes los operadores de un sistema cuántico?

Question

Cómo podemos encontrar una "interesante" a los operadores para un mecánico-cuántica del sistema?

Que puedo pensar de la siguiente forma: Dado un cierto sistema asociado un espacio de Hilbert $V$ y Hamiltonianos $H:V\rightarrow V$, consideramos que una lineal de la acción de una Mentira grupo $G$ $V$ que conmutan con el Hamiltoniano, es decir, tenemos una representación $\rho:G\rightarrow GL(V)$ tal que $\rho(g)H\psi = H\rho(g)\psi$ todos los $g\in G$$\psi\in V$. A continuación, $\rho$ induce una acción de la Mentira de álgebra en $V$, que se define como sigue: vaya a $g(t)\in G$ ser un buen camino en la $G$ con $g(0)=e$, $\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}g(t) = x\in\mathfrak{g}$, a continuación,$x(v) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\rho(g(t))v$. Esto puede ser usado para encontrar los operadores de la conservadas cantidades del sistema (es decir, los operadores de $A$ tal que $[H,A]=0$).

Un ejemplo: supongamos $H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(|\mathbf{x}|):L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$, es decir, el potencial es de rotación simétrica. Luego nos tomarse una acción de $G=SO(3)$$L^2(\mathbb{R}^3)$$g\cdot\psi(\mathbf{x}) = \psi(g\mathbf{x})$. La acción inducida en la Mentira de álgebra está dada por $$x(v) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}g(t)\cdot \psi(\mathbf{x}) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\psi(g(t)\mathbf{x}) = \frac{\partial\psi}{\partial x^i}(\mathbf{x})\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(g(t)\mathbf{x})^i$$ Desde $x\in \mathfrak{so}(3)$ actúa en $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ $\omega\wedge\mathbf{x}$ para algunos vectores $\omega\in\mathbb{R}^3$, tenemos que el operador es, básicamente, el momento angular del operador (hasta algunas constantes, probablemente,$i\hbar$).

Mis preguntas:

1. Es lo que he hecho por encima de la correcta? Cómo puede ser explicado mejor (estoy un poco confundido en algunos puntos, como te habrás dado cuenta)?
2. Lo interesante de los ejemplos/aplicaciones de este hecho hay? En qué situaciones puede ser útil?
3. Existen otros métodos para encontrar interesantes los operadores de un sistema cuántico?

Yo también estoy interesado a las referencias a los artículos/libros de tratar el tema, aunque yo realmente no tienen tiempo para mirar a ellos en cualquier momento pronto.

Answer 1

El más interesante de los operadores son los que conmuta con el Hamiltoniano $H$. Para encontrarlos, es útil considerar en primer lugar el correspondiente sistema clásico y tratar de construir las integrales de movimiento (IM), es decir, las cantidades que conmuta con el Hamiltoniano clásico w.r.t. Poisson soporte: $$\left\{H,L\right\}=0.$$ La existencia de tales IM está relacionado con explícitos u ocultos simetrías por el teorema de Noether (por ejemplo, traducciones $\rightarrow$ conserva el momentum, simetría rotacional $\rightarrow$ momentum angular, $SO(4)$ simetría de potencial de Coulomb $\rightarrow $ método de Runge-Lenz vector, etc). En el caso clásico, IM permiten reducir el número de orden de las ecuaciones diferenciales de movimiento.

Por tanto, la primera cosa que uno normalmente hace es la construcción de quantum análogos de los clásicos conservados cantidades, es decir, los operadores de satisfacciones $$\left[H,L\right]=0.$$

¿Por qué este tipo de operadores útil?

Ejemplo 1. Como ilustración, consideremos un poco patológico ejemplo: el Hamiltoniano de una partícula libre en 2D: $$H=-\Delta=-\partial_{xx}-\partial_{yy}.$$ Tiene simetría traslacional, es decir, conmuta con los operadores $$P_x=-i\partial_x,\qquad P_y=-i\partial_y,$$ que además conmuta con cada uno de los otros. Eso significa que podemos diagonalize de ellos simultáneamente. Y ahora la nota la primera cosa importante: diagonalización de $P_{x,y}$ es "más sencillo" que de $H$: las funciones propias son dadas por la onda plana exponenciales $e^{ik_x x}$, $e^{ik_y y}$, y de inmediato obtener común de funciones propias en la forma $e^{ik_x x+ik_yy}$ sin trabajar directamente con "complicado" operador $H$.

Ejemplo 2. $H$ a partir del ejemplo anterior también desplazamientos con el tercer componente del momento angular $L_{z}=-i\partial_{\varphi}$ y podemos igualmente intento de diagonalize de ellos simultáneamente. Esto llevará a la común de funciones propias en el formulario $|m\rangle=f_m(r)e^{im\varphi}$, $m\in\mathbb{Z}$, donde $f_m(r)$ se puede expresar en términos de funciones de Bessel. Pero ahora recuerdo que también tenemos IM $P_x,P_y$ que no conmutan con a $L_z$. Desde entonces, sin embargo, que conmuta con $H$, su acción sobre los autoestados $|m\rangle$ generará nuevos autoestados de $H$ correspondiente al mismo autovalor. Si usted trabaja fuera de los detalles de este ejercicio, usted descubrirá que este razonamiento automáticamente se da por ejemplo, la diferenciación de las fórmulas para las funciones de Bessel. (En realidad, uno puede obtener todas las propiedades básicas de las funciones de Bessel, jugando con la simetría de álgebra de este problema).

En resumen, la existencia de quantum IM 1) simplifica el estudio del espectro del Hamiltoniano y 2) es en gran parte responsable de su estructura - en particular, la degeneración de los niveles de energía. Otro lugar famoso ejemplo es el de Runge-Lenz vector. En el caso clásico es responsable de la conservación de la órbita de orientación, mientras que en el quantum caso se manifiesta en el átomo de hidrógeno milagro: la existencia de autoestados con la misma energía, pero diferente número cuántico orbital.