definiciones equivalentes de orientación

Question

Conozco dos definiciones de una orientación de un n-manifold liso $M$ :

1) Una orientación puntual continua para $M$ .

2) Una elección continua de generadores para los grupos $H_n(M,M-\{x\})=\mathbb{Z}$ .

¿Por qué son equivalentes estas dos definiciones? En otras palabras, ¿por qué la elección de la base de $\mathbb{R}^n$ equivalente a una elección de generador de $H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n-\{0\})=\mathbb{Z}$ ?

Ver los comentarios para las definiciones precisas.

Gracias.

Answer 1

Recordemos que un elemento de $H_n(M,M-\{x\})$ es una clase de equivalencia de singulares $n$ -cadenas, donde el límite de cualquier cadena de la clase se encuentra enteramente en $M-\{x\}$ . En particular, cualquier generador de $H_n(M,M-\{x\})$ tiene un representante que consiste en un único singular $n$ -simplemente $\sigma\colon \Delta^n\to M$ cuyo límite se encuentra en $M-\{x\}$ . Además, el mapa $\sigma$ puede elegirse como una incrustación diferenciable. (Piense en $\sigma$ como un simplex orientado en $M$ que contiene $x$ .)

Ahora, el dominio $\Delta^n$ de $\sigma$ es el estándar $n$ -que tiene una orientación canónica como subespacio de $\mathbb{R^n}$ . Desde $\sigma$ es diferenciable, podemos adelantar esta orientación mediante la derivada de $\sigma$ en la imagen de $\sigma$ en $M$ . Esto da una orientación puntual en una vecindad de $x$ .

Answer 2

Obsérvese que en (1) no hay diferencia entre utilizar el haz tangente y el cotangente, y en (2) se puede utilizar $H^n$ en lugar de $H_n$ .

Ahora, la equivalencia se hace especialmente clara si en (2) se utiliza la cohomología de Rham (en lugar de, por ejemplo, la singular).

De hecho, (1) es sólo la existencia de una sección (no evanescente) $\omega$ para $\Lambda^{top} T^*M$ . Así que $\omega$ es una forma diferencial, y para cualquier $x\in U$ se puede tomar una función $f_U$ que es 1 cerca de $x$ y 0 fuera de $U$ - y $\omega\cdot f_U$ es un generador de $H^n_{dR,c}(U)=H^n(M,M-\{x\})$ . Y utilizando particiones de la unidad no es difícil ir en la dirección opuesta (es decir, reconstruir $\omega$ de las orientaciones locales).