Límite de $(\cos{xe^x} - \ln(1-x) -x)^{\frac{1}{x^3}}$

Question

Así que yo tenía la tarea de evaluar este límite

$$ \lim_{x \to 0} (\cos{(xe^x)} - \ln(1-x) -x)^{\frac{1}{x^3}}$$

Traté de transformación:

$$ e^{\lim_{x \to 0} \frac{ \ln{(\cos{xe^x} - \ln(1-x) -x)}}{x^3}}$$

Lo que podría utilizar L'hospital de la regla, pero esto sólo sería imposible evaluar sin un error. También, me di cuenta de que esta expresión no es de la forma $\frac{0}{0}$.

Cualquier solución es buena ( me gustaría evitar en series de Taylor, pero si esa es la única manera de que eso está bien).

Yo tenía esta tarea en una prueba de hoy y no he logrado hacerlo.

Answer 1

Primer aviso de que $$\cos (xe^x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(xe^x)^{2n}}{2n!}$$

y $$\ln (1 - x) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n}$$

Por lo tanto $$\cos (xe^x) - \ln (1 - x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(xe^x)^{2n}}{2n!} +\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n} = 1 + x - \frac{2x^3}{3} - O(x^4) $$

Por lo tanto, tenemos

$$\ln (1 - \frac{2x^3}{3}) = - \frac{2x^3}{3} - \frac{2x^6}{9} - O(x^9)$$

Finalmente

$$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos xe^x - \ln (1 - x) - x)}{x^3} &= \lim_{x \to 0} -\frac{2}{3} - \frac{2x^3}{9} - O(x^6) =\color{red}{ -\frac{2}{3}}\end{align}$$

Ahora, usted puede encontrar su límite.