Quiero demostrar que si $ f_n $ son funciones analíticas en un dominio $ U \subset \mathbb{C} $ $ f_n $ tiende localmente uniformemente a$ f $$U$, $f$ es analítica en $U$.
Mis pensamientos:
Me gustaría mostrar que $ f $ es necesariamente continua en $ U $, y que para cualquier curva cerrada simple $ \gamma $, $ \int_\gamma f(z) dz = 0 $. Luego por la Morera del teorema, $f$ es analítica.
Ahora $f_n $ tiende localmente uniformemente a $ f$ $U$ significa que para cualquier $ x \in U $, $ \exists r > 0 $ tal que $ f_n $ tiende de manera uniforme en $ B(x;r) $$f$. Sé que se preserva la continuidad virtud de la convergencia uniforme, y así para cualquier $ x \in U $, $ f$ es continua en algunos pelota alrededor de $x$, y así se continua en $x$. Por lo tanto $ f $ es continua en a $ U $.
Deje $ \gamma $ ser una simple curva cerrada en $ U $. Entonces para cualquier $ x $ en $ \gamma $, $\exists $ $ r > 0 $ tal que $ f_n $ converge uniformemente a$f$$ B(x;r_x) $. Deje $ N_x $ ser el asociado a la magia convergencia uniforme número' (a falta de un mejor término) para la secuencia de esta pelota. Ahora, la colección de estas bolas para todas las $ x $ $\gamma$ forma una cubierta de $\gamma$, y por la compacidad existe un número finito de subcover, decir $ \{ B(x_i;r_i), 1 \leq i \leq n \} $. Deje $ N = \max_i N_{x_i} $. A continuación, $ N $ nos da la convergencia uniforme de la secuencia de $ f_n $$ f$$\gamma$.
Así, podemos decir $ \int_\gamma f(z) dz = \lim_{n\to \infty} \int_\gamma f_n(z) dz = 0 $, y así está hecho.
Es esto una prueba válida?
Gracias!
