Es $A$ nilpotent de la matriz?

Question

Deje $A$ $n \times n$ matriz $\mathbb{C}$ $I+At$ es invertible para todo t, hace que implican $A$ es nilpotent?

Sé que lo contrario es cierto, pero también es cierto?

Answer 1

Si $I+At$ es invertible para todos los $t$, $t^{-1}I+A=t^{-1}(I+At)$ es invertible para todos los $t\neq0$, por lo que el $\det(sI+A)\neq0$ para todos los distinto de cero $s$, por lo que la única raíz del polinomio característico $p$ $A$ es cero, por lo que el $p(\lambda)=\lambda^n$, por lo que el $A$ es nilpotent, de acuerdo a la Cayley-Hamilton teorema.

Answer 2

Mariano respuesta es definitivamente la manera "correcta" de hacerlo, pero pensé que me gustaría añadir un geométricas respuesta, ya que estamos trabajando sobre $\mathbb{C}$.

Por hipótesis, tiene un global de holomorphic mapa de $\mathbb{C} \rightarrow GL_n(\mathbb{C})$ envío de $t$ $I+tA$(con ninguna suposición sobre la $A$, el codominio sólo serían $M_n(\mathbb{C})$ o en su lugar puede restringir el dominio a un pequeño barrio de 0 y dejar el codominio $GL_n$). Usted puede hacer esto con la inversión de mapa de $GL_n{\mathbb{C}} \rightarrow GL_n{\mathbb{C}}$, seguido por el obvio inclusión $GL_n{(\mathbb{C})} \rightarrow \mathbb{C}^{n^2}$ para obtener un global de holomorphic función de $S:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{n^2}$. Localmente cerca de $t=0$, está claro que $S$ está dada por el poder de la serie de $S'=I-At+A^2t^2-A^3t^3+...$. Una propiedad de holomorphic funciones en los discos es que cualquier poder local, la expansión de la serie en todo el centro debe mantener en todo el disco, por lo $S'=S$ sobre todo $\mathbb{C}$. En particular, $S'$ es absolutamente convergente para todos los $t \in \mathbb{C}$. Pero tomando las $t$$||t||>>0$, está claro (intuitivamente, pero ver comentarios) que esto obliga a $A^N=0$ para suficientemente grande $N$.