Fórmula Anidada Radicales

Question

Yo sé que: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}\; (upto\; n\; times)}}}=2\cos(2^{-n-1}\:\pi)$$

Me preguntaba si esa fórmula existe para $$\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...\sqrt{3}\; (upto\; n\; times)}}}$$

o, en general, $$\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+...\sqrt{k}\; (upto\; n\; times)}}}$$

He intentado escalar la fórmula 2 para obtener un resultado aproximado.
Por ejemplo, para el caso de los 6 de: $$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}\; (upto\; n\; times)}}}\approx\left(\frac{2\cos(2^{-n-1})-\sqrt2}{2-\sqrt2}\right)(3-\sqrt6)+\sqrt6$$

Answer 1

Deje $$f(k,n)=\underbrace{\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{\ldots+\sqrt k}}}}_n $$ Sabemos que $\cos\frac x2=\pm\frac12\sqrt{1+\cos x}$. Por lo tanto, si $f(n,k)=a\cos b$ $$f(n+1,k)=\sqrt{k+f(n,k)}=2\sqrt k\cdot\frac12\sqrt{1+\frac{f(n,k)}{k}}=2\sqrt k\cdot\frac12\sqrt{1+\frac ak\cos b}. $$ Esto funciona muy bien con nuestro haf-ángulo fórmula sólo si $a=k$ y, a continuación, se convierte en $$ f(n+1,k)=2\sqrt k\cdot\frac12\sqrt{1+\cos b}=2\sqrt k\cos\frac b2.$$ Nos gustaría tener $2\sqrt k=a=k$ nuevo, pero que funciona sólo si $k=2$. En otras palabras, no habrá fórmulas de la forma $f(n,k)=a_k\cdot \cos 2^{-n}\alpha_k$ a excepción de $k=2$.

Answer 2

Sugerencia:

La secuencia tiende a

$$t=\frac{1+\sqrt{1+4k}}2.$$

Las iteraciones convergen rápidamente y después de un par de ellos, $t_n=t-\delta_n$ donde $\delta_n\ll t$.

Entonces

$$t-\delta_{n+1}=\sqrt{k+t-\delta_n},\\ t^2-2t\delta_{n+1}+\delta_{n+1}^2=k+t-\delta_n,\\$$ simplificar y dejar de lado el cuadrado plazo, $$\delta_{n+1}\approx\frac{\delta_n}{2t}.$$

El error decae de manera exponencial,

$$t_n\approx t-\frac c{(2t)^n}.$$

Esto está de acuerdo con el caso de $k=2$, de tal manera que $t=2$, y por Taylor

$$2\cos(2^{-n-1}\pi)\approx 2-\frac{\pi^2}{4\cdot(2\cdot2)^n}.$$