Hola estoy revisando para mis exámenes y tengo el siguiente homogénea de primer orden de la recurrencia de la relación definida de la siguiente manera:
f(0) = 2
f(n) = 6f(n-1) - 5, n > 0
He intentado por edades el uso de los métodos que me han enseñado a resolver esto, pero no puedo conseguir una solución adecuada.
1. Integrate a new function g(n)
2. f(n) = 6^n.g(n)
3. => 6^n.g(n) = 6.6^(n-1) .g(n-1) -5
4. => g(n) = g(n-1)-5/6^n
5. => g(n) = sum(i=1, n)-5/6^i
6. => f(n) = 6^n.sum(i=1, n)-5/6^i
7. => *Evaluate the sum using geometric series forumla*
8. => sum(i = 1, n)-5/6^i = [sum(i = 1, n)a^i] -------> (a = -5/6)
9. => *sub a = -5/6 into geometric forumla [a(1-a^n)/(1-a)]*
10. => [(-5/6(1 - (-5/6)^n))/(1-(-5/6))]
11. => g(n) = [(-5/6(1 + (5/6)^n))/(1+5/6)]
12. => f(n) = 6^n . g(n) = 6^n[(-5/6(1 + (5/6)^n))/(1+5/6)]
13. => *sub in n = 0 to see if f(0) = 2*
No puedo conseguir este trabajo, sin embargo. f(0) [base de caso] no es igual que 2...Donde he ido mal??
Sólo para hacerle saber aquí es el ejemplo que estoy siguiendo:
f(0) = 0
f(n) = 3f(n-1)+1, n>0
f(n) = 3^n.g(n)
3^n.g(n) = g(n-1)+(1/3)^n
g(n) = sum(i=1, n)(1/3)^i
f(n) = 3^n . sum(i=1, n)(1/3)^n
sum(i=1, n) = sum(i=1, n)(a^i) ----> a = 1/3
sub into geometric series formula gives:
1/2(1-(1/3^n)
Hence:
f(n) = 3^n/2(1-(1/3^n)) = 1/2(3^n - 1) = O(3^n)
Ahora mis matemáticas no es muy grande, yo sé lo suficiente para sobrevivir, pero he seguido los pasos exactos como mi profesor hizo en el ejemplo, pero no puedo conseguir una solución que se ajuste a f(0). Tengo que seguir los métodos utilizados en el ejemplo de arriba y estoy absolutamente perplejo en cuanto a donde el problema es..
