Dejemos que $x\in[1,\infty)$ . Es $\ln x$ ¿uniformemente continua? Tomé esta función como continua y escribí la siguiente prueba de la que no estoy del todo seguro.
Dejemos que $\varepsilon>0 $ , $x,y\in[1, ∞)$ y $x>y$ . Entonces, $\ln x< x$ y $\ln y< y$ y de esto se deduce que $0<|\ln x-\ln y|<|x-y|$ desde $x> y$ . Elija $δ=ϵ$ . Supongamos ahora que $|x-y|< δ$ . Entonces, $|\ln x-\ln y|<|x-y|<\varepsilon$
Se agradecería mucho si alguien pudiera validar mi prueba
Usted puede probar algo más general:
La PROPOSICIÓN Supongamos $f:[a,\infty)\to\Bbb R$ se ha acotado derivados. A continuación, $f$ es uniformemente continua en su dominio.
P Pick $x,y\in[a,\infty)$ arbitrariamente. Por el teorema del valor medio, podemos escribir $$|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)||x-y|$$
Deje $M=\sup\limits_{x\in[a,\infty)}|f'(x)|$. A continuación, $$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$$
Así, para cualquier $\epsilon$ podemos tomar $\delta=\frac{\epsilon}{2M}$. Tenga en cuenta que en su caso $M=1$. Yo sólo se dividen por $2$ activar $\leq$ a $<$.
AGREGAR Esto significa, por ejemplo, que el $\log x$ (más $[a,\infty)$, $a>0$), $\sin x$, $\cos x$, $x$, y funciones similares son todos uniformemente continua. Nota, por ejemplo, que el $\sin(x^2)$ es no uniformemente continua. Tenga en cuenta que nosotros realmente ser $f$ $1$- Lipschitz con constante $M$, por lo que este podría ser de su interés.
No estoy seguro de cómo deduces eso $|\ln x-\ln y|<|x-y|$ . No creo que sea suficiente escribir que $\ln x < x$ .
Alternativamente, puedes demostrar que una función es uniformemente continua basándote en la siguiente idea:
$f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier secuencia $\{a_n\},\{b_n\}$
$$ \lim\left(a_n-b_n\right)=0 \Rightarrow \lim\left(f\circ a_n-f\circ b_n\right)=0. $$
Dejemos que $\{a_n\}, \{b_n\}$ satisfacen nuestra hipótesis ( $\lim\left(a_n-b_n\right)=0$ ), entonces tenemos $\lim a_n = \lim b_n$ y así
$$ \lim\left(f\circ a_n-f\circ b_n\right) =\lim\left(\ln(a_n)-\ln(b_n)\right)=\lim\ln\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \ln(1) = 0. $$
Lo es, Continuidad uniforme mediante secuencias . Vale la pena demostrar este resultado, me dieron una tarea para demostrar esto y fue muy útil para muchas pruebas de continuidad uniforme.
No, tu prueba tiene un problema. Si $f(x)<x$ para todos $x\in[1,\infty)$ no se deduce que $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ para todos $x$ y $y$ .
Usted tiene $x>y$ y utilizando el hecho de que $\ln$ está aumentando, $|\ln x -\ln y|=\ln x - \ln y$ . Pero, ¿cómo se concluye que esto es menos que $x-y=|x-y|$ ? Sabemos que $\ln x<x$ , lo que da $\ln x - \ln y <x-\ln y$ . Pero $\ln y<y$ aplicada a la última expresión da como resultado $x-\ln y>x-y$ , lo que no ayuda. Sustitución de $\ln x$ con $x$ hace que la expresión sea más grande, mientras que la sustitución de $\ln y$ con $y$ hace que la expresión sea más pequeña. Para que el resultado neto sea mayor, hay que saber que $x-\ln x > y- \ln y$ . Pero esto no es más que un reordenamiento de la desigualdad que quieres demostrar.
En resumen: La conclusión de que $|\ln x -\ln y|\leq |x-y|$ para todos $x,y\geq 1$ es cierto, pero se necesita más para demostrarlo. En las otras respuestas se dan algunos métodos para completar la prueba.
@Rajinda: Es incorrecto decir que de $\ln x<x$ y $\ln y<y$ se deduce que $|\ln x-\ln y|<|x-y|$ . La desigualdad es correcta, pero la justificación declarada no lo es.
@Rajinda: No sé a qué te refieres con "exponer la idea". Puedes plantear la desigualdad, y eso plantea la idea. Pero en tu demostración, supongo que quieres dar una justificación válida de por qué la desigualdad es cierta. Hay varios métodos para hacerlo. Por ejemplo, se puede utilizar el teorema del valor medio como en la respuesta de Peter. Aquí hay otro: Si $x>y\geq 1$ entonces $\ln x-\ln y=\ln(x/y)=\ln(1+((x/y)-1))\leq (x/y)-1\leq x-y$ . Aquí he utilizado la desigualdad $\ln(1+t)\leq t$ para todos $t\geq 0$ que se puede demostrar utilizando la positividad de la derivada de $t-\ln(1+t)$ para todos $t>0$ .
Supongamos que $x>y>1$ Entonces por la desigualdad del triángulo y el hecho de que $y>1$ :
$$\frac{x}{y} < \frac{|x-y|}{|y|} + 1 < |x-y|+1$$
Dejemos que $\epsilon > 0$ , elija $\delta = e^{\epsilon}-1$ entonces tenemos
$$|\ln(x)- \ln(y)| = \ln(\frac{x}{y}) < \ln(|x-y|+1) < \ln(e^{\epsilon} - 1+1) = \epsilon$$
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Estimado Rajinda, como señala Jonas Meyer en su respuesta más abajo, su argumento no es correcto. Sólo porque $\ln x < x $ y $\ln y < y$ no se puede concluir nada sobre $\ln x - \ln y$ contra. $x - y$ Para ello, hay que saber algo sobre la diferencia entre $\ln x$ y $x$ y la distancia entre $\ln y$ y $y$ . (Sólo para dar un ejemplo con números, $3 < 10$ y $1 < 9$ pero no es cierto que $3 - 1$ es menor que $10 - 9$ .) Saludos,
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Un error de novato, supongo. Sin embargo $lnx$ aumenta a un ritmo menor que $x$ aumentos. Por lo tanto, ¿no implica lnx<x y lny<y la desigualdad basada en la tasa de aumento que mencioné? En tu ejemplo el lado inferior de la desigualdad disminuye en mayor proporción que el lado superior
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Estimado Rajinda, Sí, su discusión de tasas de aumento ¡es exactamente el punto, y esto es lo que tienes que incorporar en tu prueba! Mi sugerencia es que, si realmente quieres entender esto, intentes escribir una prueba más cuidadosa por tu cuenta, tratando de incorporar esta idea de la tasa de incremento de una manera cuidadosa. (Tal vez acabes volviendo a uno de los argumentos que se dan a continuación, pero tal vez encuentres un argumento diferente). Un saludo,
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Gracias por ayudarme a aclarar las cosas. Me di cuenta de la falla en la prueba.
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Cualitativamente, la función logarítmica natural no parece uniformemente continua, porque a medida que nos acercamos a cero, se vuelve rápidamente grande y negativa. No existe un límite superior sobre la magnitud del delta vertical que corresponde a un delta horizontal determinado.
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@Kaz: El dominio aquí es $[1,\infty)$ .