Cocientes de curvas elípticas

Question

Soy bastante inexperto con las curvas elípticas, así que puede haber aspectos de mi pregunta que necesiten una mejor redacción, pero avísame si hay algún problema:

Pregunta: Digamos que tengo una curva elíptica sobre $\mathbb{F}_7$ y esta curva tiene 12 puntos. Tomo un subgrupo de tamaño 3 y hago el cociente de la curva por ese subgrupo. Magma y Sage pueden decirme fácilmente la ecuación de la curva donde vive el cociente. No es sorprendente que aparezcan puntos extra cuando se toma un cociente que no está definido sobre $\mathbb{F}_7$ pero se definen sobre $\mathbb{F}_7$ cuando se toma el cociente. Así que la curva que escupen puede (y suele, según mi muestra aleatoria) seguir teniendo 12 puntos.

¿Qué ocurre en el lado del campo de función? ¿Es el campo de funciones de la curva original una extensión del campo de funciones de la otra curva? Si no es así, ¿qué ocurre?

Answer 1

Este mapa se denomina isogenia y las isogenias sobre campos finitos preservan el número de puntos (de hecho, dos curvas elípticas sobre un campo finito son isógenas si tienen el mismo número de puntos).

Por el lado del campo de funciones, esto corresponde a una incrustación del campo de funciones de la curva original en la segunda. Por la existencia de la isogenia dual, también se tiene una incrustación de la segunda en la primera. Todo esto se explica muy bien en los primeros capítulos del libro de Silverman Aritmética de las curvas elípticas libro.