¿Qué es un buen "naturalmente" ejemplo de una flecha categoría?

Question

Desde muy temprano en conseguir a los apretones con la categoría de la teoría, nos encontramos con varias formas de obtener nuevas categorías a partir de una determinada categoría $\mathscr{C}$ -- tome el doble, el cociente por una congruencia en las flechas, rebanada encima o por debajo de un objeto, de forma que la flecha de la categoría $\mathscr{C}^{\to}$, ...

Ahora, algunas de esas definiciones son inmediatamente acompañados de ejemplos que muestran que de hecho ya están familiarizados con las categorías de estos nuevos tipos. Así, por ejemplo, la coslice categoría $\mathbf{Set}/1$ $1$ terminal, es (el equivalente a) la categoría de $\mathbf{Set_*}$ de punta conjuntos.

Pero, a menos que se acabo no ha sido concentrarse, la introducción de la idea de una flecha categoría $\mathscr{C}^{\to}$ no es usualmente acompañado por un bonito ejemplo a lo largo de líneas similares, "Y mira, la flecha categoría $\mathbf{SomeCat}^{\to}$ (equivalente) a $\mathbf{FamiliarCat}$ ..."

Seguro que, más adelante nos encontramos con que la flecha de la categoría $\mathscr{C}^{\to}$ es cierto coma categoría, se refiere a una categoría de functors $2 \to \mathscr{C}$, y otras cosas. Pero estas emociones no son el tipo de cosas que me estoy después! Idealmente, estoy buscando buenos ejemplos concretos de las categorías que -- incluso un par de conferencias en-mira que naturalmente se deriven de las categorías que resultan ser de flecha categorías en delgado disfraz. Cualquier oferta?

Answer 1

Quiero decir que este no es realmente el punto de recepción de la flecha categorías. Por analogía, en teoría de grupos cuando usted aprendió sobre el colector subgrupo $[G, G]$, el punto no era que esta era una construcción que permiten reproducir grupos familiares, fue que el colector de un subgrupo de un grupo es útil para entender cómo se comporta. Del mismo modo aquí.

Aquí está una media de ejemplo. Si $A$ es un abelian categoría, luego en la flecha de la categoría $\text{Arr}(A)$ es de la categoría de los dos términos de los complejos de la cadena en $A$. Hay dos naturales y definidas functors $\text{Arr}(A) \to A$ dado por tomar el kernel o la cokernel de una de morfismos, y es una pregunta interesante preguntar qué sus derivados functors. En mi opinión, la manera más fácil de recordar la respuesta a esta pregunta es recordar la interpretación en términos de dos términos de los complejos de la cadena.

Answer 2

Siguiente Zhen Lin comentario:

Dada una categoría $\mathbf{C}$, escribir $\mathrm{Mono}(\mathbf{C})$ para el ancho de la subcategoría de $\mathbf{C}$ cuyas flechas son precisamente los monomorphisms. A continuación, $\mathrm{Mono}(\mathbf{C})^\rightarrow$ es la categoría cuyos objetos son "objetos de $\mathbf{C}$ equipada con un distinguido subobjeto." Esas cosas surgen de forma natural. Por ejemplo, un involutiva monoid es un monoid $M$ equipada con un endofunction $\dagger$ la satisfacción de las siguientes tres identidades. $$a^{\dagger\dagger} = 1, \quad (ab)^\dagger = b^\dagger a^\dagger, \quad 1^\dagger=1.$$ If $M$ is a monoid, then $M$ has a subgroup of invertible elements, called the core of $M$. Supposing $M$ has an involutive structure, then the core is naturally equipped with a distinguished subgroup of elements satisfying $^{-1} = a^\daga$. Equivalently, these are the elements $\M$ satisfying $$aa^\dagger = 1, \qquad a^\dagger a = 1.$$ So if $M$ is equipped with involutive structure, then the core of $M$ can be viewed as an object of $\mathrm{Mono}(\mathbf{Grp})^\rightarrow.$

Adenda. Pensando un poco más, parece que los morfismos de $\mathrm{Mono}(\mathbf{C})^\rightarrow$ son demasiado estrictos; son conmutativas plazas de $\mathbf{C}$-monomorphisms, que probablemente no es lo que queremos. Esto se puede remediar mediante subquivers. Dada una categoría $\mathbf{C}$ junto con un subquiver $\mathbf{Q}$, definir ese $(\mathbf{C},\mathbf{Q})^\rightarrow$ es la categoría cuyos objetos son las flechas de $\mathbf{Q}$, y cuyos morfismos son conmutativas cuadrados con los "lados", tomado de $\mathbf{C}$. A continuación, podemos mejorar la construcción anterior de la siguiente manera: en lugar de buscar en $\mathrm{Mono}(\mathbf{C})^\rightarrow$, que en lugar de mirar a $(\mathbf{C},\mathrm{Mono}(\mathbf{C}))^\rightarrow$.