Estoy buscando una prueba de la afirmación de que, dado un poset P, el topos de presheaves sobre P es equivalente a la de los topos de presheaves durante el álgebra de Heyting de tamices sobre los elementos de la P. he encontrado esta afirmación de John Bell papel causal "de los conjuntos y el marco de valores de la teoría de conjuntos". Tengo la impresión de que la prueba es probablemente bastante trivial, pero no acabo de ver en el momento. Si alguien pudiera esquema de la prueba o dar una referencia adecuada, eso sería genial.
Respuesta
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La afirmación es falsa. Deje $P$ ser el trivial poset con un solo elemento; a continuación, presheaves en $P$ son sólo conjuntos. Pero el total de álgebra de Heyting de tamices en $P$ es el poset $\{ 0 < 1 \}$, y presheaves en este constituyen un no booleano topos. Aquí es la afirmación correcta:
Para cualquier poset $P$, el topos de presheaves en $P$ es equivalente a los topos de las poleas en el álgebra de Heyting de tamices en $P$.
Es una consecuencia de la norma de los hechos en el topos de la teoría:
- La presheaf topos en un poset es localic. [Bocetos de un elefante, por Ejemplo A4.6.2(d)]
- Los subobjetos de $1$ $[P^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ son los tamices en $P$. [Ejercicio]
- Un localic topos es el topos de las poleas en el álgebra de Heyting $\mathrm{Sub}(1)$. [Bocetos de un elefante, el Teorema de C1.4.7]
