Hallar el número cero de $z^{10}+10z+9$ en el disco de la unidad.

Question

Estoy tratando de encontrar el número de cero del polinomio $f(z)=z^{10}+10z+9$ en el disco $D(0,1)$ .

Hasta ahora he utilizado Teorema de Rouché con $g(z)=z^{10}$ para encontrar que hay 10 ceros en $D(0,2)$ . Sin embargo, como $-1$ es un cero de $f$ y se encuentra en $D(0,1)$ Creo que Rouché no puede utilizarse directamente.

¿Alguien podría aconsejarme cómo proceder? Gracias.

Answer 1

Aviso

$$f(z) = z^{10} + 10z + 9 = (z+1)(z^9-z^8+z^7-z^6+z^5-z^4+z^3-z^2+z+9)$$

y para $|z| < 1$ la parte no constante del $2^{nd}$ está limitada por encima de:

$$\begin{align} & |z^9-z^8+z^7-z^6+z^5-z^4+z^3-z^2+z|\\ \le & |z^9|+|z^8|+|z^7|+|z^6|+|z^5|+|z^4|+|z^3|+|z^2|+|z|\\ < & 9|z| < 9 \end{align}$$ Esto significa que el $2^{nd}$ no puede desaparecer. En consecuencia, $f(z)$ no tiene ninguna raíz "dentro" $D(0,1)$ .

Answer 2

No estoy seguro de entender cómo has llegado a la conclusión de que hay 10 ceros de $f$ en $D(0,2)$ . También me parece que se puede utilizar directamente el teorema de Rouche sobre $D(0,1)$ si está dispuesto a modificar ligeramente $f$ .

Pista: Como ya sabes $f$ tiene un cero en $-1$ quizás podrías dividir $f$ por algo...

Answer 3

Un posible enfoque es utilizar el principio del indicador logarítmico. Ya que, aproximando la función integrando: $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=\frac{10}{9}}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 2,$$ se deduce que sólo hay dos raíces (contadas con multiplicidad) de $f(z)$ dentro del disco $|z|\leq\frac{10}{9}$ . Desde $z=-1$ es una raíz doble, no hay raíces de $f(z)$ en el disco de la unidad abierta.

Answer 4

Pista. Observe primero que $z^{10}+10z+9=0$ posee un doble cero en $z=-1$ .

Objetivo: Demostrar que nuestra ecuación tiene exactamente 8 ceros en $\{z:\lvert z\rvert>1\}$ .