es suave si la composición con cualquier curva suave es también suave

Question

Estoy atascado en la siguiente parte de una prueba:

Dejemos que $\phi: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ sea una función tal que $\gamma'(t) := \phi(\gamma(t))$ es suave para toda función suave $\gamma: \mathbb R \to \mathbb R^m$ .

Quiero demostrar que $\phi$ es suave bajo estos supuestos.

¿Podría alguien darme una indicación?

Gracias de antemano.

S.L.

Answer 1

Esto fue demostrado por Jan Boman en el artículo "Differentiability of a function and of its compositions with functions of one variable", Math. Scand. 20 (1967) 249-268. (El teorema, tal como está planteado, es para el caso $n=1$ pero eso no es un problema, como ya mencionó Jason DeVito en un comentario). Aquí es una versión en línea, y aquí es el enlace de MathSciNet. Según el artículo y la reseña, había sido una conjetura no publicada de Rådström.