Grupo de orden $p^{n}$ tiene subgrupos normales de orden $p^{k}$

Question

P: Demuestra que un subgrupo de orden $p^n$ tiene un subgrupo normal de orden $p^{k}$ para todos $0\leq k \leq n$ .

Intento de prueba: Procedemos por Inducción. Esto es obviamente cierto para $n=1, 2$ . Supongamos que es cierto para $m \leq n-1$ . Ahora, toma el grupo $G$ de orden $p^{n}$ . Dado que se trata de un $p$ -tiene un centro no trivial por la ecuación de la clase de conjugación. Este centro tiene entonces un subgrupo de $K$ pedir $p$ por el teorema de Cauchy, por ejemplo. Como este subgrupo está contenido en el centro, es normal en $G$ .

Tome el cociente $G/K$ que ahora tiene orden $p^{n-1}$ de ahí que por la hipótesis de inducción tenga subgrupos $\bar{H_{k}}$ de orden $p^{k}$ para $0\leq k \leq n-1$ que son normales en $G/K$ . Por el teorema del isomorfismo de la red, la red de $G$ tiene grupos correspondientes $H_{k}$ que son normales en $G$ .

El índice de cada uno de estos subgrupos es $|G:H_{k}|=|G/K: \bar{H_k}|=p^{n-1-k}$ Por lo tanto $H_{k}$ tiene orden $p^{k+1}$ en $G$ como desee.

¿Te parece bien?

Answer 1

Parece que todo el mundo está de acuerdo en que está bien, así que publico esto para que se elimine la pregunta de la sección de preguntas sin respuesta.