Un límite en una suma de cinco senos

Question

Si $0<x_{1},\ldots,x_{5}<\pi$ y $x_{1}+\ldots+x_{5}=\pi$ , ¿es cierto que $\sin x_{1}+\ldots+\sin x_{5}\le5\sin\frac{\pi}{5}$ ?

Answer 1

El seno es una función cóncava sobre $[0, \pi]$ y así se deduce de La desigualdad de Jensen (4):

$$ \frac{\sin x_1 + \dotsc + \sin x_5}{5} \leq \sin\left( \frac{x_1 + \dotsc + x_5}{5} \right) = \sin \frac{\pi}{5}. $$