No estoy diciendo que debería ser. Me preguntaba si se tiene. Lo que tengo en mente es que habría sido de ayuda material en la demostración de, digamos, el de Hahn-Banach Teorema, o alguna de esas. Si es así, ¿qué es lo más importante/impresionante ejemplo de esto?
Respuestas
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Hablando como alguien que es, básicamente, un algebrista, creo que de álgebra como el uso de la estructura para ayudar a comprender o simplificar una situación matemática. El común algebraica de los objetos (grupos, anillos, álgebras de Lie, etc.) reflejan estructuras comunes que aparecen en muchos contextos diferentes.
Ahora el análisis de frecuencia, parece haber un cierto deslizamiento que hace que sea difícil de precisar precisa de las estructuras que persisten de manera significativa a través de los diferentes problemas y contextos, y por lo tanto, parece haber sido algo resistentes a los métodos de álgebra en general. (Este es un extraño sabor de boca, y no debe ser tomado demasiado en serio. Pero honestamente reflejar mi impresión ... .)
Por otro lado, no parecen ser lugares donde el álgebra puede colarse en y jugar un papel. Uno es mencionado por Qiaochu: Wiener demostrado que si $f$ es un nonwhere cero de la función periódica con absolutamente convergente serie de Fourier, entonces $1/f$ de nuevo es absolutamente convergente serie de Fourier. Wiener prueba fue con la mano el análisis armónico, pero conceptualmente más simple prueba (de una manera mucho más general) fue suministrado por Gelfand (creo) el uso de la teoría de álgebras de Banach, que gira en torno a conceptos algebraicos tales como la máxima ideales y radicales. Wiener demostrado su resultado como un paso en el largo camino a demostrar su general Tauberian teorema, y este resultado nuevamente admite un conceptualmente más simple prueba, y a la generalización, a través de Los métodos del álgebra de Banach.
Otra, más reciente, ejemplo de ello es el trabajo de Green y Tao en asymptotics para los Hardy--Littlewood problema de resolver ecuaciones lineales en números primos. Aquí se introdujo algebraicas ideas relacionadas con nilpotent Mentira grupos, los cuales juegan un papel clave en la comprensión y análisis de la complejidad y la solubilidad de tales ecuaciones.
rck
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Sí, ecuaciones diferenciales es, intuitivamente hablando, probablemente casi tan lejos como usted puede obtener de álgebra abstracta en el ámbito de análisis. Sin embargo, el álgebra se las arregla para asomar su fea cabeza, :).
Un ejemplo es el tema de la D-módulos (ver también Sato del algebraicas análisis que Akhil menciona en su comentario.)
Pero mi ejemplo favorito en el algo sorprendente aplicación del álgebra para el análisis es el de las lagunas hiperbólico operadores diferenciales. Dada una constante coeficiente diferencial parcial hiperbólica operador $P(D)$ en $\mathbb{R}^n$, se ha asociado a una solución fundamental de $E$, que resuelve la ecuación que $P(D)E = \delta$, la distribución de Dirac. El uso de la solución fundamental, podemos escribir la solución de la no homogénea problema de valor inicial $P(D)u = f$, $(u, \partial_t u)|_{t=0} = (u_0,u_1)$ en forma integral. Un Petrowsky laguna de $P(D)$ es una región en la que la solución fundamental de $E$ se desvanece.
Ahora, por hyperbolicity, la solución fundamental es compatible dentro de un bi-cono con vértice en el origen, una condición conocida como velocidad finita de propagación. De modo que forma un trivial de la región en la que $E$ se desvanece. Pero aparte de que la situación puede ser complicada. Basta con pensar en la solución fundamental para el lineal de la ecuación de onda. En impar el número de dimensiones espaciales, la solución fundamental es apoyado precisamente en el conjunto $\{t^2 = r^2\}$. Por lo que la región de $\{t^2 > r^2\}$ formulario de lagunas para $P(D)$. Por otro lado, en el número de dimensiones espaciales, la solución fundamental se apoya en el conjunto $\{ t^2 \geq r^2\}$: las ecuaciones se ven casi exactamente el mismo, pero la diferencia entre par e impar dimensiones es enorme!
Petrowsky escribió un artículo en 1945 dando precisa "topológico" condiciones para la existencia y caracterización de las lagunas. Más tarde, Atiyah, Bott, y escribió Sobre dos papeles revisando este problema, en el que el teorema(s) de Petrowsky se demostró el uso de una expresión algebraica marco geométrico. Uno puede leer más acerca de esto en Atiyah del Seminaire Bourbaki notas.
Matt Dawdy
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No estoy seguro de cómo responder a esta pregunta. El análisis funcional es una gran parte de los análisis, y el análisis funcional es ampliamente considerado con espacios vectoriales topológicos; espacios vectoriales considerados como "álgebra abstracta"?
Hace el análisis de Fourier cuentan como "servicio"? Él y sus más general de compañeros seguramente se consideran como la más importante intersección de álgebra y análisis, tanto en la pura y matemática aplicada.
Cómo acerca de la teoría de álgebras de Banach? Ellos son el escenario natural para espectral de la teoría, que es sin duda un importante analítica tema, y que también puede ser utilizado para probar una importante lema de Wiener y el estudio de la mecánica cuántica y todo tipo de otras cosas.
David HAust
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La mentira de la teoría de los métodos de jugar un gran papel en el grupo de teoría de aproximación de funciones especiales, y la separación de variables en las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Willard Miller demostró que el poderoso Infeld Casco de la factorización / escalera método ampliamente explotado por los físicos - es equivalente a la teoría de la representación de los cuatro locales de la Mentira de los grupos. Esta Mentira-enfoque teórico sirve para poderosamente unificar y "explicar" a todos los anteriores intentos similares para proporcionar un unfied teoría de estas clases de funciones especiales, por ejemplo, Truesdell del influyente libro de Un Ensayo Hacia una Teoría Unificada de las Funciones Especiales. A continuación es el primer párrafo de la introducción a Willard Miller clásica monografía de la Mentira de la teoría y funciones especiales
Esta monografía es el resultado de un intento de comprender el papel desempeñado por la función especial de la teoría en el formalismo de las matemáticas de la física. Demuestra explícitamente que las funciones especiales que surgen en el estudio de los modelos matemáticos de fenómenos físicos y la identidades que estas funciones obedecen en muchos casos son dictadas por la simetría de los grupos admitidos por los modelos. En particular, se mostrará que el método de factorización, una poderosa herramienta para calcular los autovalores y relaciones de recurrencia para las soluciones de segundo orden diferenciales ordinarias las ecuaciones (Infeld y Casco), es equivalente a la representación la teoría de los cuatro locales de la Mentira de los grupos. Un estudio detallado de estos cuatro grupos y sus álgebras de Lie conduce a un tratamiento unificado de una proporción significativa de especial teoría de la función, especialmente la parte de la teoría que se más útil en la física matemática.
Ver también Miller la secuela de la Simetría y de Separación de Variables. De nuevo cito en el prefacio:
Este libro se refiere a la relación entre las simetrías de un lineal de segundo orden de la ecuación diferencial parcial de la física matemática, los sistemas de coordenadas en el que la ecuación admite soluciones a través de la separación de las variables, y las propiedades de las funciones especiales que surgen en de esta manera. Se trata de una introducción destinada a cualquier persona con experiencia en ecuaciones diferenciales parciales, funciones especiales, o Mentira teoría de grupo, como grupo de teóricos, los matemáticos, los físicos teóricos y los químicos y los ingenieros eléctricos. Vamos a presentar algunos grupo moderno de la teoría de la giros en el antiguo método de separación de variables que se pueden se utiliza para proporcionar una base para gran parte de la especial función de la teoría. En en particular, vamos a mostrar explícitamente que todas las funciones especiales que surgen a través de la separación de variables en las ecuaciones de la física matemática puede se estudió utilizando la teoría de grupos. Estos incluyen las funciones de Cojos, Ince, Mathieu, y otros, así como los de hipergeométrica tipo.
Este es un momento muy importante en la historia del grupo en la teoría de los métodos en función especial de la teoría. Las relaciones básicas entre Mentira grupos especiales funciones, y el método de separación de variables ha sido recientemente aclaró. Uno puede construir ahora un grupo de la teoría de la máquina que, cuando aplicado a una ecuación diferencial de la física matemática, describe en una forma racional de los posibles sistemas de coordenadas en el que la ecuación admite soluciones a través de la separación de variables y los distintos expansión teoremas relativos a la separables (función especial) soluciones en distintas sistemas de coordenadas. De hecho, para el más importante de ecuaciones lineales, el separados soluciones se caracterizan como el común de funciones propias de los conjuntos de de segundo orden de desplazamientos de los elementos de la envolvente universal de álgebra de la Mentira de la simetría de álgebra correspondiente a la ecuación. El problema de la la expansión de un conjunto de separables soluciones en términos de otra, se reduce a un problema en la teoría de la representación de la Mentira de la simetría de álgebra.
Ver Koornwinder la revisión de este libro para un muy buen concisa introducción a los grupos de enfoque teórico de la separación de variables.
