Integral de la función de Bessel y transformada de Mellin

Question

Gradshteyn&Ryzhik 6.635.3 proporciona la siguiente integral, con las restricciones habituales en $\nu,\alpha,\beta$ , $$\int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{\alpha}{x}-\beta x\right)J_\nu(\gamma x)\frac{\mathrm{d}x}{x}= 2J_\nu\left(\sqrt{2\alpha(\sqrt{\beta^2+\gamma^2}-\beta)}\right) K_\nu\left(\sqrt{2\alpha(\sqrt{\beta^2+\gamma^2}+\beta)}\right).$$ Las dos ecuaciones anteriores dan la integral $$\int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{\alpha}{x}\right)J_\nu(\beta x)\frac{\mathrm{d}x}{x}= 2J_\nu\left(\sqrt{2\alpha\beta}\right) K_\nu\left(\sqrt{2\alpha\beta}\right)$$ y la misma integral con $J_\nu(...)$ sustituido por $Y_\nu(...)$ en ambos lados de la ecuación (función de Bessel del primer tipo sustituida por el segundo tipo). La misma sustitución simple a veces funciona y a veces no funciona en otras integrales de Gradshteyn&Ryzhik. ¿Existe una regla general sobre cuándo funciona esta sustitución simple y, en particular, funciona para la primera integral dada anteriormente, 6.635.3? O bien, ¿cómo se puede abordar el cálculo de la integral anterior (con la función de Bessel del segundo tipo)? [Preferiría entender esto mejor que sólo saber qué respuesta da Mathematica. Para ahorrarle el trabajo a cualquiera, Integral definida Wolfram se resiste a ello].

Es una pregunta más complicada, pero ¿hay una forma más interesante de entender la conexión entre $\exp\left(-\frac{\alpha}{x}-\beta x\right)$ y las funciones de Bessel que se refleja en las integrales anteriores y en Gradshteyn&Ryzhik 3.471.9, $$\int\limits_0^\infty x^{\nu-1}\exp\left(-\frac{\alpha}{x}-\beta x\right)\mathrm{d}x= 2\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{\nu}{2}} K_\nu(2\sqrt{\alpha\beta})$$ que la mera afirmación de que esta integral es una transformada de Mellin?

[Como puede resultar obvio, aprendí lo necesario para formular la segunda pregunta mientras formulaba la primera. Esta pregunta está relacionada con una pregunta sobre la teoría cuántica de campos en physics.SE . Gracias de antemano].

EDIT: Para la primera pregunta, debido a la definición $Y_\nu(z)=\frac{cos(\nu\pi) J_\nu(z)-J_{-\nu}(z)}{sin(\nu\pi)}$ para los no enteros $\nu$ , $|\arg(z)|<\pi$ y debido a la identidad $K_{-\nu}(z)=K_\nu(z)$ Si la continuidad de las funciones de Bessel con respecto al orden es suficiente (para mí) para el caso de los números enteros, $$\int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{\alpha}{x}-\beta x\right)Y_\nu(\gamma x)\frac{\mathrm{d}x}{x}= 2Y_\nu\left(\sqrt{2\alpha(\sqrt{\beta^2+\gamma^2}-\beta)}\right) K_\nu\left(\sqrt{2\alpha(\sqrt{\beta^2+\gamma^2}+\beta)}\right).$$ Estas observaciones parecen ser suficientes para dar una idea razonable de cuándo es conveniente sustituir $J_\nu(...)$ por $Y_\nu(...)$ (no a menudo, en última instancia). Por supuesto, todas estas equivalencias integrales derivan finalmente de las ecuaciones diferenciales y de las condiciones de contorno satisfechas por las funciones de Bessel de varios órdenes. La segunda cuestión, aún abierta, necesita claramente un conocimiento considerablemente mayor y, supongo, una mentalidad más abstracta.

Answer 1

3.471.9
Empezaré con 3.471.9, ya que es mucho más sencillo. El ingrediente clave

Teorema de Slater diciendo que $$ \int_0^\infty t^{\alpha-1} f(t) g\left(\frac{x}{t}\right) \mathrm{d} t = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma + i \infty} \mathcal{M}_f(s+\alpha) \mathcal{M}_g(s) x^{-s} \mathrm{d} s = \mathcal{M}^{-1} \left\{ \mathcal{M}_f(s+\alpha) \mathcal{M}_g(s) \right\}(x) $$ donde $\mathcal{M}_f(s) = \int_0^\infty t^{s-1} f(t) \mathrm{d} t$ es el Transformación de Mellin de $f$ , válida dentro de una franja $\min < \Re(s) < \max $ y $\gamma$ es una constante real, tal que $\gamma$ está dentro de la franja de validez de la transformada de Mellin de $g$ y $\gamma + \Re(\alpha)$ dentro de la franja de la transformada de Mellin de $f$ .

La prueba es fácil: $$ \begin{eqnarray} \int_0^\infty t^{\alpha-1} f(t) g\left(\frac{x}{t}\right) \mathrm{d} t &=& \int_0^\infty t^{\alpha-1} f(t) \left( \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma+\infty} \mathcal{M}_g(s) x^{-s} t^s \mathrm{d} s \right) \mathrm{d} t \\ &=& \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma+\infty} \left( \int_0^\infty t^{s+\alpha-1} f(t) \mathrm{d} t \right) \mathcal{M}_g(s) x^{-s} \mathrm{d} s \\ &=& \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma+\infty} \mathcal{M}_f(s+\alpha) \mathcal{M}_g(s) x^{-s} \mathrm{d} s \end{eqnarray} $$

Ahora aplicamos este teorema a 3.471.9, utilizando Integral de Cahen-Mellin $\mathcal{M}_{\exp(-\bullet)}(s) = \Gamma(s) $ : $$\begin{eqnarray} \int_0^\infty t^{\alpha-1} \exp\left(-y t\right) \exp\left( - \frac{x}{t}\right) \mathrm{d} t &=& \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \gamma}^{\gamma + i \infty} \Gamma(s+\alpha) \Gamma(s) y^{-\alpha -s} x^{-s} \mathrm{d}s \\ &=& y^{-\alpha} \left( \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i \gamma}^{\gamma + i \infty} \Gamma(s+\alpha) \Gamma(s) \left( x y \right)^{-s} \mathrm{d}s \right) \\ &=& y^{-\alpha} \left( 2 (x y)^{\alpha/2} K_{\alpha}(2 \sqrt{x y} ) \right) \\ &=& 2 \left( \frac{x}{y} \right)^{\alpha/2} K_\alpha\left(2 \sqrt{x y}\right) \end{eqnarray} $$ donde DMLF 10.43.19 se utilizó.

6.635.3
Una fórmula de parentesco está elaborada en Bateman, Erdelyi y otros, "Higher Transcendental Functions", capítulo 7, sección 7.7.6 sobre las fórmulas de Macdonald y Nochilson, fórmula (37). Dice: $$ \int_0^\infty \exp\left(-\frac{t}{2} - \frac{x^2+X^2}{2 t} \right) I_\nu \left( \frac{x X}{t} \right) \frac{\mathrm{d} t}{t} = \cases{2 I_\nu\left( x \right) K_\nu\left( X \right) & x < X \\ 2 I_\nu\left( X \right) K_\nu\left( x \right) & x > X } $$ Haciendo una continuación analítica $x \to \mathrm{e}^{i \pi/2} x$ de la (única posible) primera rama, obtenemos $$ \int_0^\infty \exp\left(-\frac{t}{2} - \frac{X^2-x^2}{2 t} \right) J_\nu \left( \frac{x X}{t} \right) \frac{\mathrm{d} t}{t} = 2 J_\nu(x) K_\nu(X) $$ Ahora, realizando la reparametrización $X = \sqrt{2 \alpha \left( \sqrt{\beta^2 + \gamma^2}+ \beta \right)}$ , $x = \sqrt{2 \alpha \left( \sqrt{\beta^2 + \gamma^2} - \beta \right)}$ acompañado de un cambio de variables $t \to \left(2 \alpha t\right)^{-1}$ llegamos a 6.635.3.

La derivación de la fórmula del punto de partida se basa en dos resultados auxiliares: $$ \int_0^\infty J_{\nu}(x u) J_{\nu}(X u) \exp\left(-\frac{t u^2}{2}\right) u \mathrm{d} u = \frac{1}{t} \exp\left(-\frac{x^2+X^2}{2t}\right) I_\nu\left( \frac{x X}{t}\right) $$ que se obtiene expandiendo la exponencial en serie e integrando término a término. Entonces, utilizando la representación integral anterior en la fórmula considerada, y realizando la integración simple con respecto a $t$ obtenemos $$ \int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-t/2}}{t} \exp\left(-\frac{x^2+X^2}{2t}\right) I_\nu\left( \frac{x X}{t}\right) \mathrm{d} t = \int_0^\infty J_\nu(x u) J_\nu(X u) \frac{2 u \mathrm{d} u}{1+u^2} $$ La integral resultante es de tipo Sonine-Gegenabuer, y es igual a $2 I_\nu( \min(x,X)) K_\nu(\max(x,X))$ .