Cómo encontrar la integral de un cociente de funciones racionales?

Question

¿Cómo puedo calcular la siguiente integral: $$\int \dfrac{x^4+1}{x^3+x^2}\,dx$$

Mi intento:

Podemos escribir $$\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2} = \dfrac{A}{x^2} + \dfrac{B}{x} + \dfrac{C}{x+1}$$

Es fácil encontrar que $A=1$, $B=2$, y $C=-1$.

Por lo tanto

$$\frac{x^4+1}{x^3+x^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}$$

Por lo tanto: $$\int \frac{x^4+1}{x^3+x^2}\,dx = \int \frac{dx}{x^2} + \int \dfrac{2\,dx}{x} - \int \frac{dx}{x+1} = -\frac{1}{x} +2\log \vert x\vert - \log \vert x+1 \vert + C$$

El problema es que me iba a encontrar: $$\int \frac{x^4+1}{x^3+x^2}\,dx = \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{2} - \log \vert x \vert + 2 \log \vert x+1 \vert + C$$

Donde está mi error?

Answer 1

Su $A,B,C$ están equivocados. Usted no puede escribir la expresión en la que se forman debido a que el numerador no tiene el grado correcto.

Si se combinan los términos, se obtiene $$\frac{A(x+1)+Bx(x+1) +Cx^2}{x^3+x^2}$$

Tenga en cuenta que el numerador es de grado en la mayoría de las $2$.

En lugar de ello, acaba de realizar la división de polinomios para obtener un cociente y un resto término. A continuación, puede hacer lo que hizo, trabajando con el resto fraccional.

Answer 2

Observar que $$\frac{x^4+1}{x^3+x^2}=\frac{x^4+x^3-x^3-x^2+x^2+1}{x^3+x^2}=\frac{(x-1)(x^3+x^2)+x^2+1}{x^3+x^2}=x-1+\frac{x^2+1}{x^2(x+1)}$$

Answer 3

Su división larga es malo, porque:

$$\frac{x^4+1}{x^3+x^2}=\frac{x^4+1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x^2}+x+\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x}-1$$

Answer 4

Es necesario combinar división de polinomios y fracciones parciales. $$ \begin{align} \frac{x^4+1}{x^3+x^2} &=x-1+\frac{x^2+1}{x^2(x+1)}\tag{1}\\ &=x-1+\frac2{x+1}-\frac1x+\frac1{x^2}\tag{2} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: división de polinomios
$(2)$: fracciones parciales

Answer 5

Para romper un racional polymomial expresión en partes, el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador.

Este no es el caso con $\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2}$. Usando la división larga, nos encontramos con

---

\begin{array}{rcccccccc} & & x & - & 1 &\\ & & --- & --- & --- & --- & --- & --- & ---\\ x^3 + x^2 & | & x^4 & + & 0x^3 & + & 0x^2 & + & 1 \\ & & --- & --- & --- \\ & & x^4 & + & x^3\\ & & --- & --- & --- & --- & --- \\ & & & & -x^3 & + & 0x^2 \\ & & & & -x^3 & - & x^2 \\ & & & & --- & --- & --- \\ & & & & & & x^2 & + & 1. \\ \end{array}

---

Por lo $\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2} = x - 1 + \dfrac{x^2 + 1}{x^3 + x^2}$.

Y que necesita para resolver $\dfrac{x^2+1}{x^3+x^2} = \dfrac{A}{x^2} + \dfrac{B}{x} + \dfrac{C}{x+1}$

$x^2 + 1 = A(x+1) + Bx(x+1) + Cx^2$

Deje $x = -1$ y se obtiene

$C = 2$

Deje $C = 2$ y se obtiene

$x^2 + 1 = A(x+1) + Bx(x+1) + 2x^2$

$-x^2 + 1 = A(x+1) + Bx(x+1)$

$1-x = A + Bx$

$A = 1$ $B = -1$.

Por lo $\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2} = x - 1 + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}$.

etc