Comprensión intuitiva de la fórmula de la integral de la trayectoria

Question

He aprendido una fórmula general para una integral de trayectoria/línea

$$ \int_a^b f\left(\mathbf{r}(t)\right) \|\mathbf{r}'(t)\|\ dt \tag{1} $$

y estoy tratando de entenderlo mejor. Específicamente, me pregunto qué es no es correcto sobre esto:

$$ \int_a^b f\left(\mathbf{r}(t)\right)\ dt \tag{2} $$

Si trato de averiguar lo que está sucediendo en $(2)$ , razono que $f(\mathbf{r}(t))$ es el valor del campo $f$ en el punto $\mathbf{r}(t)$ para algunos $t$ . Al variar $t$ de $a$ a $b$ la suma de esos valores $f(\mathbf{r}(t))$ me parece que es el valor de todo el camino, es decir, la integral del camino. Está claro que hay una laguna en mi comprensión.

Creo que entiendo la fórmula similar para la longitud del arco $s$ para el mismo camino

$$ s = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\ dt \tag{3} $$

de la geometría, por lo que entiendo que se extienda $(3)$ a $(1)$ simplemente incluyendo el campo escalar $f$ . Pero, creo que sabiendo lo que $(2)$ hace significa que podría ayudarme a llevar las cosas al siguiente nivel .

Answer 1

Si queremos la integral de $f$ sobre una curva para depender de la curva como objeto geométrico (subconjunto del espacio) en lugar de un mapeo de un intervalo real, queremos que la integral sea invariante bajo reparametrizaciones de la curva. La parametrización más natural es la parametrización de la longitud de arco, y queremos que la integral sea (2) en este caso. De estos dos principios se deduce la forma (1) de la integral.

Answer 2

Esto me hizo pensar en un buen ejemplo para demostrar el problema de (2).

Digamos que queremos encontrar $\int_{-1}^1x^2\>dx$

Pero queremos hacerlo de la manera más difícil: por una integral de camino. Así que tomamos: $\mathbf{r}(t) = 2x^{n} - 1$ (esto sólo va de -1 a 1 a medida que t va de 0 a 1) y resolver la siguiente integral en su lugar:

$\int_{0}^1(2x^{n} - 1)^2\>dt$

Este es su (2). Ahora observa lo que ocurre para k grande (este es el gráfico para $\mathbf{r}(t) = 2x^{101} - 1$ ):

Ahora ves que esto pasará "la mayor parte del tiempo" en prácticamente -1. Así que si evaluamos (2) con esto $\mathbf{r}(t)$ básicamente sólo calcularemos:

$\int_{0}^1(2x^{101} - 1)^2\>dt = \int_{0}^1(-1)^2\>dt = 1$

Así que ahora ves por qué es importante tener en cuenta el derivado de $\mathbf{r}(t)$ Porque cuando está cerca de cero, realmente no estamos moviendo la región sobre la que estamos integrando, así que no queremos contarla.

Answer 3

Cuando $$\gamma:\quad t\mapsto{\bf x}(t)\qquad(a\leq t\leq b)\tag{1}$$ es sólo una representación paramétrica arbitraria de la curva $\gamma$ entonces su integral $(2)$ no tiene un significado geométrico intrínseco. Sin embargo, si, $t$ es el tiempo, y $(1)$ describe el movimiento exacto de una partícula en el tiempo entonces la integral $(1)$ puede muy bien tener un significado de importancia física.

Supongamos que $(1)$ describe la trayectoria de un estudiante estadounidense en Europa $E$ y que $f({\bf x})$ mide el nivel de inspiración del lugar ${\bf x}\in E$ . Entonces la integral $$\int_\gamma f({\bf x})\>dt=\int_a^b f\bigl({\bf x}(t)\bigr)\>dt$$ codifica la ingesta intelectual de este estudiante a lo largo de su viaje.