La ecuación diferencial relacionadas con Golomb de la secuencia de la

Question

Mientras que el estudio de Golomb la secuencia, la siguiente ecuación diferencial despertar: $$ f(f(x))=\frac{1}{f'(x)} $$ Yo no sé mucho acerca de las ecuaciones diferenciales, así que estoy un poco despistado. Es allí una manera de resolverlo bien?

Editar:

Con el enlace proporcionado por Michael Galuza, he podido encontrar una función que satisface la ecuación dada, a saber: $$ f(x)=\varphi^{2-\varphi}x^{\varphi-1} $$ Donde $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ es la proporción áurea. Sin embargo, yo no tuve éxito en la demostración de que este es el único. Es esto posible?

Answer 1

Deje $y =f(x)$$\frac{dy}{dx}=f'(x)$, de modo que el D. E. se convierte en$f(y)=\frac{dx}{dy}$$f(y)dy=dx$.

Tenemos dos formas:

• El D. E. es separable, la integración de ambos lados obtenemos $\int {f(y)dy=x+c}$

• La ecuación de $dx-f(y)dy=0$ es exacta ya que $M(x,y)=1$ $N(x,y)=-f(y)$ tenemos $M_y=0$$N_x=0$.

Deje $\Phi(x,y)$ ser una función derivable tal que $\Phi_x=1$ $ \Rightarrow $ $\Phi(x,y)=x+h(y)$. Por otro lado, $\Phi_y=N(x,y)$, de modo que $h'(y) = -f(y)$, lo que le da ese $h(y)=-\int{f(y)dy}+C$.

Por lo tanto, $\Phi(x,y)=x-\int{f(y)dy}+C$.