Este es un capítulo sobre la acción de grupo y necesito entender mejor su relación con el centralizador y el normalizador. ¡Unos ejemplos rápidos serían de gran ayuda! Muchas gracias.
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rschwieb
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El centralizador de $H$ en $G$ es el conjunto $x\in G$ tal que $xhx^{-1}=h$ para todos $h$ en $H$ (es decir, el conjunto de elementos que conmutan puntualmente con cosas en $H$ .
El normalizador de $H$ en $G$ es el conjunto de todos los $x\in G$ tal que $xhx^{-1}\in H$ para todos $h\in H$ . (nótese la ligera diferencia). Esto sólo dice que mientras los elementos normalizadores no necesariamente conmutan con las cosas en $H$ pero la conjugación por ellos por lo menos aterriza de nuevo en $H$ .
Es evidente entonces que el centralizador es un subconjunto del normalizador.
Como habrás adivinado, ambas cosas están relacionadas con la acción de conjugación de un grupo $G$ en sí mismo: $g\mapsto hgh^{-1}$ para algunos fijos $h$ . Probablemente sepas que se trata de un automorfismo especial de $G$ llamado un automorfismo interno. Si $h$ está en el centralizador de un elemento $g$ entonces $g$ se queda quieto después de haber actuado $h$ .
Ampliando esta idea un paso más, podemos decir que la acción de $h$ no mueve nada en un subconjunto $S$ fuera de $S$ si $h$ está en el normalizador de $S$ . Teniendo esto en cuenta, se puede ver que un subgrupo normal no es más que un subgrupo que se mantiene quieto bajo la acción de conjugación de cualquier elemento $h$ en $G$ .
Considera las simetrías del cuadrado: $\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau,\sigma^3\tau\}$ .
Puedes probar estos ejercicios:
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Demuestre que tanto el normalizador como el centralizador de un subconjunto no vacío de $G$ son subgrupos de $G$ .
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El centralizador y el normalizador de un solo elemento $\{g\}$ son el mismo conjunto.
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Demuestre que el normalizador de $\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3\}=G$ pero que su centralizador es pas todo $G$ .
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Compruebe que el centralizador de $\{1,\sigma^2\}=G$ .
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Calcular el normalizador de $\{1,\tau\}$
Más ejercicios estándar:
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Demuestra que $H$ es un subgrupo normal de su normalizador.
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Demuestre que el centralizador de $H$ es todo $G$ si $H$ está contenida en el centro de $G$ .
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Demuestre que el centralizador de $H$ es un subgrupo normal del normalizador de $H$ .
Aleksandar Ivanisevic
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Si estás estudiando las acciones de grupo, entonces sabes que para un grupo $G$ actuar en un plató $X$ el estabilizador $G_x$ son todos los elementos de $G$ que arreglar $x$ en $G$ de la acción de $X$ .
Considere $G$ actuando sobre el conjunto de subconjuntos de $G$ por conjugación. Entonces el estabilizador $G_H$ para algunos $H\leq G$ es $\{g\in G : gHg^{-1}=H\}$ . Este estabilizador particular es el normalizador de $H$ .
Ahora considere $G$ actuando sobre $H$ por conjugación. Aquí $G_h=\{g:ghg^{-1}=h\}$ es el centralizador del punto $h\in H$ . Tomando la intersección de los estabilizadores sobre todos los $h\in H$ es el centralizador de $H$ .
Así que ambos son sólo casos especiales del estabilizador de $G$ actuando en cosas diferentes.
