¿Cómo calcular una integral definida en una extensión de Lubin-Tate de un campo local?

Question

En teoría de campos de clases por Neukirch se encuentra la siguiente definición:

$$\eta_{L\mid K}(s):=\int_0^s\frac{dx}{(G_0:G_x)}.$$

En los párrafos que siguen a la definición se encuentra una proposición:

$$\eta_{L\mid K}(s)=\frac{1}{g_0}\sum_{\sigma\in G}(\text{min}(i_{L\mid K}(\sigma),s+1)-1),$$

donde $g_i:=\mid G_i\mid$ y donde $G_i$ son grupos de ramificación superiores.
Luego se encuentra la afirmación de que, en el Lubin-Tate $\pi ^m$ -extensión de campo de división de campos locales $L_m\mid K$ tenemos:

$$\eta_{L_m\mid K}(q^n-1)=n, n=0,\ldots m-1$$

donde $q$ es el orden de campo de la clase de residuo de $K$ .
He intentado utilizar las fórmulas y la definición mencionadas para calcular esta integral, pero no he conseguido ver por qué es así.
Así que cualquier pista o cualquier solución se agradece sinceramente.

Answer 1

Finalmente hice un intento de probar la afirmación.
Como se menciona en el comentario anterior, surge de una alusión en otro libro de Neukirch , Teoría algebraica de números .
En primer lugar, la fórmula de ese libro es errónea: debería ser $g_i=q^{m-n}$ para $q^{n-1}\leq i\leq q^n-1$ de modo que la suma de todos los $i$ es $q^{m-n}(q^n-q^{n-1})=q^{m-1}(q-1)$ . Aunque es bien sabido que, para una extensión de Lubin-Tate $L_m$ es puramente ramificado de grado $q^{m-1}(q-1)$ . Como es puramente ramificado, por teoría algebraica elemental de números sabemos que el grupo de inercia $G_0$ tiene orden = $e_{L_m|K}=[L:K]$ . Por tanto, el resultado se deduce de forma natural.
Infórmeme de cualquier error que desdeñe este argumento. Muchas gracias.