Esperemos que Lionel se expanda su respuesta porque se ve elegante pero no puedo totalidad de hacer que funcione. En el mientras tanto, aquí un jamón de mano de enfoque:
A partir de la identidad estándar $\nabla \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec{B}\cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A}\cdot (\nabla \times \vec{B})$ y por la ley de Faraday para expandir $\nabla \times \vec{B}$ en el lado derecho obtenemos:
$$\mu_0^{-1} \nabla \cdot(\vec A \times \vec B)= \mu^{-1} |\vec{B}|^2 - \vec{A}\cdot\vec{J} - \epsilon_0 \vec{A}\cdot\partial_t \vec{A} \quad\quad\quad\quad(1)$$
La expansión de $\epsilon_0\,\nabla\cdot(\phi\,\vec{E}) = -\epsilon_0 \nabla\phi\cdot{E} + \epsilon_0 \phi \nabla\cdot\vec{E}$ y el uso de Gauss la ley de electricidad así como de $\vec{E} = -\nabla \phi - \partial_t \vec{E}$ obtenemos:
$$\epsilon_0 \nabla\cdot(\phi \vec{E}) = -\epsilon_0 |\vec{E}|^2 + \phi\,\rho + \epsilon_0 \vec{E}\cdot\partial_t\vec{A} \quad\quad\quad\quad(2)$$
Aplicando el teorema de la divergencia a un gran volumen esférico $V$ adjuntando toda la corriente y la carga para el lado izquierdo de (1) y (2) la superficie de las integrales de $\oint_{\partial V}\hat{n} \cdot (\vec{A}\times\vec{B})\, {\rm d}S $$\oint_{\partial V}\hat{n}\cdot( \phi \vec{E})\, {\rm d}S $. Como en los comentarios, debe asumir la caries comportamiento de $\vec{E}$, $\phi$, $\vec{B}$ y $\vec{A}$ - su asintótica dependencias de sus magnitudes en el radio de $R$ de la bign esfera de estática condiciones son en la mayoría de las $R^{-1}$ $\phi$ $\vec{A}$ y en la mayoría de las $R^{-2}$ $\vec{E}$ $\vec{B}$ (en general con la dinámica de los problemas con la radiación, todos ellos disminuyen como $R^{-1}$). Así, en la estática caso, la superficie de las integrales variará como $R^{-1}$, por lo tanto se desvanecen a medida que la esfera crece lo suficientemente grande como para incluir todo el espacio. Bajando el tiempo de variación de los términos en el lado derecho de (1) y (2) (para condiciones estáticas), se obtendrá el resultado que necesita.
Como en los comentarios, hay más fácil - y más en general - formas de estudiar los flujos de energía en el campo electromagnético. En el medio de mi respuesta a la Física que SE pregunta "¿Cómo pueden los Imanes se utilizan para recoger las piezas de metal cuando la fuerza de un campo magnético no funciona?" Os muestro el método estándar como por ejemplo, Griffiths o el horror literario de el símbolo selvas de Jackson, "Electrodinámica Clásica" (asegúrese de tomar un muy afilado machete con usted para cortar a través de todas las ecuaciones). La mejor exposición que conozco es en el Capítulo 27 del segundo volumen de la Feynman Lectures on Physics: el capítulo llamado "Campo de la Energía y el Campo de Impulso". Feynman es tan matemáticamente rigurosa como la de Jackson (probablemente el mejor) y estudia la física más cuidadosamente: discutir el a menudo pasado por alto los temas de la ambigüedad en la definición del campo de energía y flujo, así como la localidad de los flujos de energía. El método en su pregunta es muy interesante, aunque yo no he visto esto antes, y que permite separar el $\frac{\epsilon}{2}|\vec{E}^2|$ $\frac{\mu}{2}|\vec{H}^2|$ bits de la densidad de energía para el estudio de la Lorentz-covariante $|\vec{E}|^2 - c^2 |\vec{B}|^2$. Espero todo esto te ayuda.
